高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重“通性通法”的運(yùn)用

朱粉紅

摘 要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，“通性通法”經(jīng)常處于尷尬的境地：一方面高考試題始終踐行著考綱中“注重通性通法，淡化特殊技巧”的指導(dǎo)思想，另一方面“通性通法”卻在教學(xué)中備受冷落。此外，因?yàn)閷W(xué)生沉溺于浩渺題海，已無力、無意去識(shí)得“通性”、識(shí)別“通法”。因此，“通性通法”已被邊緣化。為了糾正這一誤區(qū)，我們應(yīng)認(rèn)真思考考綱所要求的“注重通性通法”的內(nèi)涵，并真正將其落實(shí)到我們的教學(xué)實(shí)踐中去，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)的同時(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);通性通法

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???? 文章編號(hào)：1992-7711（2019）15-097-1

所謂通性通法，是指具有某種規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學(xué)解題方法。筆者下面談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生運(yùn)用“通性通法”。

一、注重通性通法關(guān)鍵在于概括，要揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)

“通法”一般自然流暢，定勢(shì)繁瑣，但并不是容易想到的、過程繁鎖的就是通法。運(yùn)用通法的過程是從概括出來的一般形式去考慮具體的問題，注重通性通法的關(guān)鍵在于概括，要揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)。如：

例1：在橢圓x2a2+y2b2=1（a，b∈R，a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，若橢圓上存在點(diǎn)P，滿足PF1=2PF2，則這些橢圓的離心率的取值范圍是[13，1）。

該題主要有兩種解法：

法1：直接用焦半徑的性質(zhì)，由橢圓的定義PF1+PF2=2a，又因?yàn)镻F1=2PF2，所以得PF2=23a。又因?yàn)楸仨殱M足a-c≤PF2≤a+c，即a-c≤23a≤a+c解得13≤e<1。

法2：轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，因?yàn)镻F1d1=ca，PF2d2=ca，所以條件可化為：d1=2d2，設(shè)P的橫坐標(biāo)為x，則x+a2c=2（a2c-x），所以x=a23c，又因?yàn)?a≤x≤a，即-a≤a23c≤a，下略。

法3：先分離變量，PF1PF2=2，又PF1+PF2=2a，得2aPF2-1=2。

又因?yàn)?aa+c-1≤2aPF2-1≤2aa-c-1，所以2aa+c-1≤2≤2aa-c-1，下略。

法1、法2在圓錐曲線章節(jié)中比較容易想到，法3則跳出了圓錐曲線，有了函數(shù)的味道。實(shí)際上本題的通性是關(guān)鍵詞“存在”，這和下列函數(shù)中的有關(guān)“存在”和“恒成立”的題型如出一轍，如函數(shù)f（x）=x2+ax+4，（1）若對(duì)任意x0∈[1，4]，總有f（x）<0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。（2）若存在x0∈[1，4]，使f（x）<0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解決這一類題型的方法就是要設(shè)定一個(gè)變量，構(gòu)造函數(shù)（變量），如分離變量得-a>x+4x;而上述三種方法本質(zhì)上就是消元、構(gòu)造函數(shù)的過程，法3的分離變量的手段和函數(shù)更為相近。

二、變式教學(xué)有助于學(xué)生識(shí)得通性、獲得通法

學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)常感嘆題海浩渺，而高考專家卻宣稱根本沒有那么多題目，應(yīng)付高考只需要做50題，掌握其中的通性通法并熟練運(yùn)用即可。而通性通法概括其中隱蔽特性的過程較抽象，學(xué)生難以接受和領(lǐng)會(huì)，那我們可以通過變式教學(xué)，通過改變題目的條件和形式，引導(dǎo)學(xué)生從變化中觀察不變因素，概括通性、獲得通法。

如對(duì)于例1我們可以進(jìn)行以下的變式：

變式1：橢圓x2a2+y2b2=1（a，b∈R，a>b>0），若橢圓上存在點(diǎn)P，滿足PF1=2d（F1為橢圓的左焦點(diǎn)，d為P到右準(zhǔn)線的距離），則這些橢圓的離心率的取值范圍是。

變式2：橢圓x2a2+y2b2=1（a，b∈R，a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，若橢圓上存在點(diǎn)P（異于長(zhǎng)軸的端點(diǎn)），滿足asin∠PF1F2=csin∠PF2F1，則這些橢圓的離心率的取值范圍是。

變式3：橢圓x2a2+y2b2=1（a，b∈R，a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，若橢圓的有準(zhǔn)線上存在點(diǎn)P，使線段PF1的中垂線過F2，則橢圓的離心率的取值范圍為。

變式4：橢圓x2a2+y2b2=1（a，b∈R，a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，若橢圓上存在點(diǎn)P滿足∠F1PF2=60°，則橢圓離心率e的取值范圍為。

變式5：已知F1，F(xiàn)2是橢圓x2a2+y2b2=1（a，b∈R，a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足PF1·PF2=0的點(diǎn)P總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是。

上述變式1-3都可以消元轉(zhuǎn)化成變量焦半徑的范圍;而變式4-5，則轉(zhuǎn)化為變量∠F1PF2的范圍，通過解不等式即可解決。通過實(shí)例學(xué)生比較容易產(chǎn)生頓悟，將很多題還原成一種類型，體會(huì)到本類題的通性是“存在性”問題，通法是“消元，構(gòu)建一個(gè)變量的函數(shù)”。

總之，“通性通法”蘊(yùn)含在具體的題目中，蘊(yùn)含在知識(shí)的發(fā)生發(fā)展的過程中，因此，我們要不斷對(duì)例題和解法進(jìn)行“提煉”和“概括”，挖掘“通性”，獲取“通法”;對(duì)于不同的解題方法準(zhǔn)確分析各自的特性和適用條件，將特性巧解發(fā)展為通性通解，這樣才能真正抓住蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)規(guī)律，在解題教學(xué)中做到“練一題、學(xué)一法、會(huì)一類、通一片”，以提高教學(xué)效率。