解三角形易錯點“集結號”

■河南省固始縣慈濟高級中學 王 珩

我們知道,正弦、余弦定理的主要用途是解三角形,這類問題看似容易,其實卻暗藏殺機,稍不留意,便會造成錯解。本文給出幾例,以期幫助同學們認清正余弦定理應用中的易錯點。

易錯點1 利用正弦定理求三角形的內角時丟解

例1在△ABC中,B=30°,AB=,AC=2,求△ABC的面積。

錯解：由正弦定理,得,故C=60°,A=90°。

剖析：本題錯誤的原因是利用正弦定理求C時丟了一解。事實上,由sinC=可得C=60°或120°,這兩個結果都符合題意。

正解：由正弦定理,得。又因為AB＞AC,所以C=60°或120°。

當C=60°時,A=90°,則

當C=120°時,A=30°,則

故△ABC的面積為

友情提示：在利用正弦定理求角時,由于正弦函數在(0,π)內不嚴格單調,所以角的個數可以不唯一,這時應注意借助已知條件加以檢驗,務必做到不漏解、不多解。

易錯點2 忽視三角形的內角和定理

例2在△ABC中,C=3B,求的取值范圍。

錯解：由正弦定理,得：

因為0≤cos2B≤1,所以-1≤4cos2B-1≤3,0＜≤3。

剖析：在上述解題過程中得到=4cos2B-1后,忽略了三角形內角和為180°及隱含的A,B,C均為正角這一條件。

正解：由正弦定理,得：

因為A+B+C=180°,C=3B,所以0°＜B＜45°,即＜cosB＜1。

友情提示：在解三角形問題時,應注意A+B+C=180°,且A＞0°,B＞0°,C＞0°。

易錯點3 忽視三角形的三邊關系

例3設2a+1,a,2a-1為鈍角三角形的三邊,求實數a的取值范圍。

錯解：因為2a+1,a,2a-1是三角形的三邊,所以解得a＞。

由題意知2a+1是三邊長的最大值,設其所對角為θ。

因為2a+1,a,2a-1 是鈍角三角形的三邊,所以cosθ＜0。

故a的取值范圍是＜a＜8。

剖析：錯解中求得的a＞不是2a+1,a,2a-1表示三角形三邊的等價條件。

正解：因為2a+1,a,2a-1是三角形的三邊,所以

解得a＞,此時2a+1最大。

要使2a+1,a,2a-1 表示三角形的三邊,還需a+(2a-1)＞2a+1,解得a＞2。

設最長邊2a+1所對的角為θ,則：

故a的取值范圍是2＜a＜8。

友情提示：在求有關參數范圍時,不可忽略三角形的三邊固有的關系,否則會使某些變量的范圍變大。

易錯點4 忽視題設中的隱含條件

例4在△ABC中,已知A＞B＞C,且A=2C,b=4,a+c=8,求a,c的長。

錯解：由正弦定理得因為A=2C,所以,a=2ccosC。

又因為a+c=8,所以

由余弦定理及a+c=8,b=4得：

當c=時,a=8-c=；

當c=4時,a=8-c=4。

故a=或a=c=4。

剖析：題設中條件A＞B＞C,等價于a＞b＞c,錯解忽視了這個隱含條件。

正解：由上面的解法,由③得c=或c=4。

因為A＞B＞C,a+c=8,所以a＞4＞c,c=,a=8-c=。

故a=,c=。

友情提示：數學題中的每一個條件都不容忽視,解題時必須仔細推敲,謹防犯顧此失彼的錯誤。

易錯點5 等式變形時隨意約去公因式

例5在△ABC中,若(a-ccosB)sinB=(b-ccosA)sinA,判斷△ABC的形狀。

錯解：由正弦定理及余弦定理知,原等式可化為：

三角形為等腰三角形。

剖析：(1)化為(2)不是等價變形,因式a2+b2-c2可以為零,所以不可輕易約去。

正解：由正弦定理及余弦定理知,原等式可化為：

三角形為直角三角形或等腰三角形。

友情提示：解決此類問題的基本方法是將已知的邊角關系式化為一邊為零,另一邊為三角式的乘積的形式或平方和的形式,或另一邊為關于三邊的多項式。注意不能隨意約去公因式,否則結論便不完整了。