全國名校數(shù)列測試題（B卷）答案與提示

一、選擇題

1.D2.C3.B4.B5.C6.D7.A

8.D9.B10.C11.A12.D13.A14.A

15.D16.D17.D18.C19.B20.B21.C

22.B23.B24.C25.C26.C27.D28.A

29.C30.A31.C32.C33.C34.B

35.C36.B37.C38.D

二、填空題

三、解答題

59.(1)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知a1=2,對任意n∈N*,都有：

整理得an=n+1(首項a1=2符合通項公式),故an=n+1。

60.(1)由題意得故a2=3,a1+a3=10。則

解得q=3或q=(舍去)。

則an=a2qn-2=3n-1,

(2)設(shè)存在常數(shù)λ,使得數(shù)列{Sn+λ}是等比數(shù)列。

因為S1+λ=1+λ,S2+λ=4+λ,S3+λ=13+λ,所以(4+λ)2=(1+λ)·(13+λ),解得λ=。此時

所以存在常數(shù)λ=,使得數(shù)列是首項為,公比為3的等比數(shù)列。

61.(1)等差數(shù)列{an}滿足a2=3,a5=9,則

所以an=a2+2(n-2)=2n-1。

數(shù)列{bn}滿足b1=2,bn+1=abn,則：

所以數(shù)列{bn-1}是以2-1=1為首項,2為公比的等比數(shù)列,bn-1=1·2n-1=2n-1。

故bn=2n-1+1。

62.(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Sn,滿足S3=12,且a1,a2,a4成等比數(shù)列。可得3a1+3d=12,即(a1+d)2=a1(a1+3d)。

解得a1=4,d=0或a1=d=2,則an=4,Sn=4n或an=2n,Sn=n2+n。

所以Tn=64n,或Tn=2·41+3·42+…+(n+1)·4n。

當Tn=2·41+3·42+…+(n+1)·4n時,4Tn=2·42+3·43+…+(n+1)·4n+1。

63.(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q。

已知a1=b1=1,,且a3=-10b2,也即1+d+q==-10q。

64.(1)由(Sn+1-Sn)(an+1-an)=,知an+1(an+1-an)=,即-an+1·an-=0。也即(an+1-2an)(an+1+an)=0。

因為數(shù)列{an}為正項數(shù)列,所以an+1=2an。數(shù)列{an}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,則an=2n。

所以數(shù)列{bn}的前n項和：

65.(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q＞0),由題意知

(2)由(1)得,bn=log3a2n-1=log332n-1=2n-1。

又bn+1-bn=2,故數(shù)列{bn}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列。

數(shù)列{bn}是以2為首項,2為公差的等差數(shù)列,bn=2+(n-1)×2=2n,則

67.(1)由Sn=2an-2,得當n≥2 時,Sn-1=2an-1-2。兩式相減,得an=2an-2an-1。當n≥2時,an=2an-1；當n=1時,S1=a1=2a1-2,a1=2。

則數(shù)列{an}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,an=2n。

由Tn+(n+m)an+1＜0,得2n+1-n×2n+1-2+n×2n+1+m×2n+1＜0 對任意n∈N*恒成立。

故m·2n+1＜2-2n+1,即對任意n∈N*恒成立。

68.(1)Sn=2an-2n-1。

當n=1 時,a1=S1=2a1-2-1,解 得a1=3；

當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2an-2n-1-2an-1+2n-2+1=2an-2an-1-2,即an=2an-1+2,則an+2=2(an-1+2)。

故數(shù)列{an+2}是首項為5,公比為2的等比數(shù)列,an=5·2n-1-2。

數(shù)列{cn}是遞減數(shù)列,數(shù)列{Tn}為遞增數(shù)列。

則Tn的最小值為