正、余弦定理妙解三角形

■河南省平頂山市第一高級中學 劉鄧輝

正、余弦定理將三角形的邊和角有機地聯系起來,從而使三角與幾何產生聯系,為求與三角形有關的量(如面積,其外接圓、內切圓的半徑和面積等)提供了理論依據,也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關等式的重要依據。

在利用正、余弦定理解三角形時,如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時,則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時,則兩個定理要珠聯璧合,有可能都會用到。

一、求三角形的基本量

例1(2015·安徽卷)在△ABC中,,點D在BC邊上,AD=BD,求AD的長。

解：設△ABC的內角∠BAC,B,C所對邊的長分別是a,b,c。

由余弦定理得：

在△ABD中,因 為AD=BD,所 以∠ABD=∠BAD,所以∠ADB=π-2B。

例2(2016·四川卷)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且

(1)證明：sinAsinB=sinC；

(2)若b2+c2-a2=,求tanB。

解：(1)根據正弦定理,可設,則a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC。

變形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)。

在△ABC中,根據A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sinC。

所以sinAsinB=sinC。

點評：利用正、余弦定理解題是歷年高考的熱點,也是必考點,求解的關鍵是合理應用正、余弦定理實現邊角的互化。其中正弦定理是一個連比等式,只要知道其比值或等量關系就可以運用正弦定理通過約分達到解決問題的目的。運用余弦定理時,要注意整體思想的運用。

二、解與三角形的面積有關的問題

例3△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若△ABC的面積S=(b+c)2-a2,則sinA=____。

例4在△ABC中,a,b,c分別為內角A,B,C的 對 邊,且

(1)求A；

(2)若△ABC的面積,求sinC的值。

點評：正弦定理和余弦定理并不是孤立的,解題時要根據具體題目合理選用,有時還需要交替使用。應用時要注意化角法、化邊法、面積法、初等幾何法等方法的靈活運用,也要注意體會其中蘊含的函數與方程思想、等價轉化思想及分類討論思想。

三、正、余弦定理與三角問題的綜合應用

例5已知函數

(1)若x∈,求函數f(x)的最大值和最小值,并寫出相應的x的值；

(2)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足且sinB=2sinA,求a,b的值。

因為sinB=2sinA,所以b=2a。

因為c2=a2+b2-2abcosC,所以