全國名校解三角形測試題（A卷）答案與提示

一、選擇題

1.B2.B3.B4.B5.D6.C7.A

8.B9.C10.A11.B12.A13.A

14.C15.A16.A17.A18.D19.C

20.C21.A22.B23.B24.D25.B

26.C27.B28.A29.A30.D31.B

32.B33.B34.B35.C36.A37.C

38.D39.D

二、填空題

三、解答題

60.(1)因為2c·sinB=3a·tanA=3a·,所以2c·sinB·cosA=3a·sinA。

整理得2c·b·cosA=3a·a。

則b2+c2=4a2,=4。

(2)a=1時,b2+c2=4a2=4。

因此,當角A最大時

解得b2+c2=4,且

61.(1)因為2acosB=2c+b,所以由正弦定理可得,2sinAcosB=2sinC+sinB。

由三角形內角和定理和誘導公式可得：

代入上式可得,2sinAcosB=2sinAcosB+2cosAsinB+sinB。

所以2cosAsinB+sinB=0。

因為sinB＞0,所以2cosA+1=0,即

由于0＜A＜π,所以

(2)因為△ABC的外接圓的半徑為,所以由正弦定理可得：

又因為△ABC的面積為,所以

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA。

則36=b2+c2+bc=(b+c)2-bc=(b+c)2-12。

所以(b+c)2=48,即b+c=4 3。

所以△ABC的周長a+b+c=6+4 3。

62.(1)cos2A+cos2C-cos2B=1-sin2A+1-sin2C-1+sin2B=1-sinAsinC。

故sin2B=sin2A+sin2C-sinAsinC。

由正弦定理可得b2=a2+c2-ac。

由余弦定理可得：

(2)由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB,即4=a2+c2-ac,4+ac≥2ac。

故ac≤4,當且僅當a=c時取等號。

63.(1)在△ABD中,由正弦定理得

因為AB=AC,sin ∠ADB=sin ∠ADC,BD=1,sin ∠CAD=3sin ∠BAD,所以DC=3BD=3。

(2)在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD×BD×cos ∠ADB。在△ADC中,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD×DC×cos ∠ADC。

因為AB=AC,AD=2,BD=1,DC=3,cos ∠ADB=-cos ∠ADC,所以4+1+2×2×1×cos ∠ADC=4+9-2×2×3×cos ∠ADC。

64.(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,由正弦定理得b2+c2-a2=bc。由余弦定理得

因為0°＜A＜180°,所以A=60°。

(2)由(1)知B=120°-C,由題設及正弦定理得

由三角形面積公式有：