用放縮法證明數列不等式的策略

■河南省信陽市二高 李吉輝

用放縮法證明數列不等式一直是高考及高考備考的一個難點和熱點,也是同學們不易掌握,感到難以駕馭的一塊知識。主要難在：

(1)放縮的方向在哪里?

(2)放縮的尺度在哪里?

以下談談我的心得。

一、總體思想

用放縮法證明數列不等式,總的來說就是已知或可以求出數列的通項公式an,要證明其前n項和Sn＜k(常數),但是Sn無法按常用方法求出,這時就需要用放縮法把an放縮成可以求和的一個新數列。

二、常用的放縮方法

1.根式an=的放縮。

3.分式指數an=(a＞1,k＞0,an-k≠0)的放縮。

4.分式指數an=(a＞1,k＞0)的放縮。

5.分式多項式an=的放縮。

三、類型歸納

1.等比型。

例1已知數列{an}的通項公式an=,前n項和為Sn,證明：Sn＜1。

解析：此題簡單,直接用求和公式Sn=,即可。

2.可以放縮為等比型。

例2已知數列{an}的通項公式an=,前n項和為Sn,證明：Sn＜1。

解析：此題要求的精確度不強,可以直接放縮,再用求和公式Sn=,即可。由題中已知條件可得為等差數列。

3.多項式的裂項。

例3已知數列{an}滿足an≠0,a1=,an-1-an=2an·an-1(n≥2,n∈N)。

解析：(1)證明數列為等差數列只需按數列定義證明,即證：當n≥2時,為常數即可。

例4(2014 年廣東高考卷)設各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn,且Sn滿足-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*。(1)求a1的值；(2)求數列{an}的通項公式；(3)證明：對一切正整數n,有

解析：(1)令n=1,代入式子得a1=2或-3(舍去)。

當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n；

當n=1時,a1=2也滿足上式。

所以an=2n,n∈N*。

(3)當k∈N*時,4k2+2k-(3k2+3k)=k2-k=k(k-1)≥0,故4k2+2k≥3k2+3k。

4.指數的放縮。

例5已知數列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2an-2(n∈N*)。(1)求{an}的通項公式；(2)設bn+1=2bn-2n+1,b1=8,Tn是數列{bn}的前n項和,求正整數k,使得對任意n∈N*均有Tk≥Tn恒成立；(3)設cn=,Rn是數列{cn}的前n項和,若對任意n∈N*均有Rn＜λ恒成立,求λ的最小值。

解析：(1)由Sn=2an-2,得Sn+1=2an+1-2。兩式相減,整理得an+1=2an+1-2an,an+1=2an,數列{an}為等比數列,公比q=2。由S1=2a1-2,得a1=2a1-2,a1=2。故an=2n。

整理得bn=2n(5-n)。

方法一 當n≤5 時,bn=2n(5-n)≥0,因此,T1＜T2＜T3＜T4=T5＞T6＞…,對任意n∈N*均有T4=T5≥Tn,故k=4或5。

因為對任意n∈N*均有Rn＜成立,所以λ≥,λ的最小值為。

5.需要先準確運算幾步,再放縮。

當我們放縮的方法正確,但是無法滿足要求時,有可能是放縮的項太多,需要先準確運算幾步,再放縮。

例6已知數列{an}的通項公式an=,前n項 和 為Sn。(1)證明：Sn＜1；(2)證明：Sn＜。

解析：(1)第一問比較簡單,要求的精確度不強,可以直接放縮,直接用等比數列求和公式＜1,即可。

(2)按照第一問思路時,結果達不到問題的要求,怎么辦? 我們先準確運算幾步看一看：

原式成立。