諧振式陀螺全角模式誤差來源與接口技術

李 崇，宋大雷，宮宜輝 ，楊 華，李坤乾

（1.中國海洋大學工程學院，青島266100；2.中國海洋大學信息科學與工程學院，青島266100）

0 引言

諧振式陀螺是一種重要的測量旋轉的傳感器,可為消費電子、航空航天、無人駕駛汽車等領域提供導航、航姿指引等核心功能[1-2]。諧振式陀螺主要分為兩類,一類為微機電陀螺（Micro Electro Mechanical Systems Gyroscope,MEMS Gyroscope）[3], 另一類為半球諧振陀螺（Hemispherical Resonator Gyroscope,HRG）[4]。微機電陀螺的優勢為帶寬大、體積小、功耗和成本低,劣勢為測量精度低,半球諧振陀螺則與其特性相反[5]。

全角模式也稱為角速率積分模式,是近年來興起的新型陀螺調制方式。相比于傳統的調幅+力平衡的調制方案,全角模式在理論上有無限的帶寬,不僅是半球諧振陀螺解決短板的有效方案,也是微機電陀螺邁向超高范圍動態測量的途徑,被視為顛覆市場的關鍵技術[6]。全角模式陀螺的最大挑戰在于控制其在不影響角度測量的情況下保持振蕩。Prikhodko等[7]提出了采用開環的控制方式,允許陀螺自由振蕩。采用該控制方式的陀螺可以以很高的速度旋轉而不會因延遲引起非線性,但是其漂移仍在 10（°）/h。 Putty 等[8]提出了利用鎖相環產生信號維持陀螺振蕩,該方式對陀螺誤差無補償且對驅動和讀出增益誤差特別敏感。Painter等[9]提出了一種基于LabVIEW Simulink的全角模式陀螺可編程控制系統,并給出了一種補償正交誤差的方法。但是,該方式頻率是固定的,并且對于快速系統,Simulink控件的實時運行非常困難,限制了系統的穩定性。由于全角模式對機械部分對稱性要求極高,且信號調制和控制算法復雜,其誤差產生原理和控制系統仍需進一步研究。

本文針對全角模式,首先闡述了其運行原理,然后對機械部分的模態分裂、阻尼不匹配、能量衰減等不理想因素進行了分析討論,并針對不理想因素提出了相應的器件選型和控制系統方案。

1 全角模式運行原理

對于諧振式陀螺,其理想狀態下的動力學方程為[10]

式（1）中,x和y為陀螺的正交諧振子的在x模態和y模態上的位移,m為質量,k為彈簧系數,Fx和Fy為作用在x模態和y模態上的驅動力,Ωz為Z軸上的旋轉角速度。

在全角模式運行下,假設系統的初始速度或位移不為0,或使用驅動力Fx或Fy進行初始激勵給予一定的初始運動能量。在全角正式運行時,Fx和Fy應等于0。在此前提下,系統對Z軸旋轉的響應僅存在自由響應解的形式

式（2）和式（3）中,α為x模態和y模態初始狀態的相關幅值,ω為陀螺的諧振頻率,φ為由系統初始狀態決定的相位變化。將式（3）和式（2）相除,并求其反正切函數,可得

式（4）中,θ為x模態和y模態運動軌跡的夾角,從而求得Z軸上的轉動角度。

相比傳統的運行模式,角速率陀螺需要令Fx或Fy將陀螺的一個模態驅動在諧振頻率上作為“驅動模態”,另一個模態作為 “響應模態”,其感應模態的時域響應解為[11]

可見,全角模式陀螺和角速率模式的最大的區別在于：角速率模式利用的是陀螺的受迫響應解,而全角模式利用的是在有初始能量下的自由響應解。因此,能否構造出陀螺的自由響應解的工作環境,是全角模式的基礎。

2 全角模式誤差來源

雖然式（1）～式（4）及其相關討論指出了理想環境下全角模式的運行原理,但是現實中由于加工誤差和客觀環境的原因,會給全角模式的實現帶來諸多的挑戰。其主要誤差因素包括存在阻尼系數、模態頻率分裂、模態阻尼不匹配等。其動力學模型的表現形式為

式（6）中,cx和cy為x模態和y模態上的阻尼系數,kx和ky為x模態和y模態上的等效彈簧系數,且兩個模態上的阻尼系數和彈簧系數均不相等。

由于（6）式中的不理想因素眾多,出于工程的化簡及問題的分析考慮,可將各種不理想因素分別添加到理想系統中以考量其影響。

2.1 阻尼與能量衰減

如上文所述,全角模式利用的是振動式陀螺的自由響應解。但由于阻尼的存在,其自由振動會隨著時間衰減,從而導致角度檢測失效。定義陀螺振動的初始總能量E0為x模態和y模態上駐波的幅值, 結合式（2）、式（3）, 可得

其由于阻尼效應衰減的效應為

由式（8）可得：當系統阻尼系數小、諧振頻率低時,系統的能量衰減速度較慢。

2.2 模態頻率分裂

模態頻率分裂是另一大阻礙全角模式實現的關鍵因素。由于加工缺陷和單晶硅晶體分布不均勻等原因,x模態和y模態的諧振頻率不可能完全相同,并且頻率差會隨著時間變化。在此情況下,系統方程為

此時,系統的轉動慣量H（t）變化可化簡為[12]

式（10）中,Hm為系統的最大轉動慣量。

分析式（10）可知,在彈簧系數不匹配的情況下,陀螺在全角模式下會進行周期往復運動。但標稱的諧振頻率越高,其往復運動的周期就越短。

2.3 模態阻尼不匹配

x模態和y模態的阻尼不匹配是一個容易被忽略的因素。同樣,由于加工和晶體分布的原因,兩者的阻尼是存在差異的。在兩模態阻尼不匹配情況下,系統動態方程為

此時,除Z軸的物理旋轉外,θ還受到系統本身的干擾[13]

式（12）中,Δc為兩個模態的阻尼之差,δ取值與x模態和y阻尼比大小有關。當cx>cy時,δ取值為0°,反之則取值為90°。

由式（12）可知,當Z軸發生旋轉時,θ會隨著時間的增加最終收斂到阻尼較小的一個軸上。這是因為x模態和y模態上能量耗散的速度不同,從而導致阻尼較大的模態上的能量率先耗散殆盡。

3 器件設計與控制系統

3.1 器件設計

由理論分析可知,模態的頻率分裂、阻尼的存在、阻尼的不匹配均為全角模式的不理想因素,但是通過合理的器件設計和選型,可以制造加工出更為適合的全角模式振動式陀螺。

陀螺的阻尼比應盡量設計的小,因為小的阻尼比可使得陀螺的振動能量維持更長的時間,在需要工作時間較短的工況下,甚至可以避免控制系統的介入來降低成本[14]。諧振頻率的數值選取是較為矛盾的,較低的諧振頻率可以增加陀螺自由震蕩的時間,但是也會放大模態分裂的周期振動作用。在保證較大阻尼比的情況下,應盡量保證兩個模態阻尼比的一致性來獲得更好的穩態性能。如阻尼比不能保證較好的一致性,應盡量減小其諧振頻率從而降低影響。

3.2 控制系統

盡管通過加工工藝的改善和關鍵參數的優化,可以提升振動式陀螺全角模式的性能,但是控制系統的介入仍是實現全角模式不可或缺的途徑。全角模式的控制系統如圖1所示,陀螺的主要電極有x輸入、x輸出、y輸入、y輸出4個。x和y的輸出信號由跨阻放大器轉換為電壓信號,經過模數轉換器（ADC）進入數字控制系統,然后再由混頻器和低通濾波器分解為基帶內的相內、干擾信號（IQ信號）。通過兩路（x和y）IQ信號,系統可以通過反正切函數來得到θ。

通過計算IQ信號的幅值,控制系統可得到陀螺的能量,并將此能量維持在一個常數量,從而抵消系統的阻尼效應。陀螺的激勵信號由數控振蕩器產生,數控振蕩器的頻率由鎖相環回路（Phase Lock Loop,PLL）鎖定在陀螺的諧振頻率上。激勵陀螺的能量總幅度由能量控制回路決定,在x模態和y模態上的能量分解由解算出的θ來決定。當x模態和y模態的信號能量被確定以后,由兩路模數轉換器（DAC）產生模擬信號,作用在陀螺上。陀螺的頻率分裂可由諧振頻率調諧電機VT來進行一次性調整[11],阻尼的不匹配可由調節兩路DAC的增益來實現。

圖1 全角模式及其控制系統原理框圖Fig.1 Principle block diagram of whole angle mode and its control system

4 原理驗證

為了驗證陀螺不理想因素和控制系統方案的正確性,利用Matlab Simulink進行仿真實驗,其系統框圖如圖2所示。振動模態1、振動模態2表示陀螺的2個振動模態,4個反饋回路為其彈簧力和阻尼力,兩模態之間的連接回路為Coriolis力,最左側為45°的角度輸入,陀螺的標稱諧振頻率為100Hz。在隨后的每個驗證過程中,在0.3s時,系統會給予陀螺一個45°的階躍輸入,仿真總時間為5s。x模態和y模態的總行程歸一化為[-1,1]范圍內。

圖2 全角模式誤差機理仿真框圖Fig.2 Simulation block diagram of whole angle mode error mechanism

首先被驗證的是陀螺的阻尼效應,如圖3所示。在有阻尼存在的情況下,x模態和y模態的運動軌跡雖然隨著角度輸入而改變,但是由于阻尼的作用,其幅值逐漸衰減直至θ無法被檢測。

圖3 存在對稱阻尼情況下的陀螺模態時域響應圖Fig.3 Time domain response diagram of gyroscope modal with symmetrical damping

其次被驗證的是模態分裂效應。在Y軸諧振頻率為99Hz的情況下,XY平面內的陀螺質心運動軌跡如圖4所示。圖4中,紅點為當前質心,粉色虛線為最近的運動軌跡,藍色曲線為歷史運動軌跡。由圖4可得,在x模態和y模態存在頻率分裂的情況下,θ無法穩定在45°上,而是在平面內產生周期往復運動,這和之前的理論分析是一致的。圖5表示的是將標稱頻率提高至200Hz的情況下,Y軸保持比標稱頻率低1Hz的運動軌跡圖。在諧振頻率提高的情況下,雖然系統依然產生周期運動,但是在同樣時間內產生的漂移減小了。

圖4 諧振頻率為100Hz、Δf為1Hz時，陀螺質心在XY平面的軌線圖Fig.4 Trajectory diagram of gyroscope centroid in XY plane when f=100Hz and Δf=1Hz

圖5 諧振頻率為200Hz、Δf為1Hz時，陀螺質心在XY平面的軌線圖Fig.5 Trajectory diagram of gyroscope centroid in XY plane when f=200Hz and Δf=1Hz

隨之被檢驗的是陀螺的阻尼不匹配問題,驗證結果如圖6、圖7所示。由驗證結果可知,當兩個振動模態的阻尼不完全一致時,θ無法維持在原有角度,而是會漂移至衰減較小的軸線上。

在完成上述理論驗證后,本文進行了控制系統的相關驗證。在線式能量控制回路可以保證陀螺全角模式克服阻尼的作用,同時又不妨礙系統的自由響應模式。頻率調諧和阻尼校正可在正式運行前進行一次性校正,其x模態和y模態的時域響應圖如圖8所示,在XY平面的運動軌線圖如圖9所示。由此結果可知,在控制系統有效的介入之后,陀螺的不理想因素得到了有效的抑制。在輸入45°的Z軸物理旋轉后,θ穩定在了同樣的角度范圍內并且隨著時間而變化,系統能量無明顯的衰減。

圖6 Y軸阻尼較小時，陀螺質心在XY平面的軌線圖Fig.6 Trajectory diagram of gyroscope centroid in XY plane when Y-axis damping is small

圖7 X軸阻尼較小時，陀螺質心在XY平面的軌線圖Fig.7 Trajectory diagram of gyroscope centroid in XY plane when X-axis damping is small

圖8 控制系統校正后的陀螺模態時域響應圖Fig.8 Time domain response diagram of gyroscope modal after control system correction

圖9 控制系統校正后，陀螺質心在XY平面的軌線圖Fig.9 Trajectory diagram of gyroscope centroid in XY plane after control system correction

5 結論

隨著對陀螺直接測量角度和高帶寬、高動態的需求,全角模式陀螺受到廣泛關注。但由于全角模式對元器件對稱性要求極高,各種不理想因素均會對全角模式的運行產生影響,其誤差產生原理尚不明確,控制系統仍需進一步研究。因此,本文從諧振式陀螺全角模式的原理出發,深入研究了各種不理想因素對全角模式運行造成的問題。并針對各種不理想因素,從器件設計和控制系統校正兩個方面提出了建議和解決方案。最后,利用Matlab的仿真結果驗證了觀點的正確性,并提出控制系統可有效解決相關誤差因素。