雙端固支石英振梁力頻系數(shù)與熱彈性品質(zhì)因數(shù)分析

李 村，韓 超，趙玉龍

（西安交通大學機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室，西安710054）

0 引言

雙端固支石英振梁具有力頻特性,施加在振梁軸線方向上的力能夠改變振梁的振動頻率,此特性被廣泛應(yīng)用于力傳感器、加速度傳感器、壓力傳感器等高精度諧振式傳感器中[1-3]。傳感器內(nèi)部通過彈性元件將加速度或壓力載荷等轉(zhuǎn)換為振梁的軸向力,改變其振動頻率并將頻率變化輸出,實現(xiàn)被測載荷的準數(shù)字式測量[4]。作為傳感器的敏感元件,雙端固支石英振梁的力頻系數(shù)和品質(zhì)因數(shù)Q值（Quality Factor）對傳感器的精度具有重要的影響[5]。

力頻系數(shù)指的是單位軸向力引起的振梁頻率的變化值,對傳感器的靈敏度具有重要的影響。當振梁受到的軸向力相同時,振梁的力頻系數(shù)越高,則傳感器的靈敏度越大。振梁的力頻系數(shù)是其固有特性,由振梁材料參數(shù)和特征尺寸決定。

諧振器的Q值是影響傳感器穩(wěn)定性和分辨率的重要參數(shù),諧振器的信噪比與諧振器的Q值成正比,高的品質(zhì)因數(shù)在頻譜特性中擁有更銳利的尖峰,對噪音的抑制能力亦越高。Q值與諧振器的具體阻尼形式有關(guān),包括振動不平衡、阻尼黏度、聲輻射損耗等。當諧振器在真空中封裝時,空氣中的氣體分子變得非常稀薄,由振動造成的振梁-氣體分析能量損耗可以忽略不計,也就是說氣體阻尼決定的品質(zhì)因數(shù)處于次要位置,此時影響諧振器品質(zhì)因數(shù)的主要因素是熱彈性阻尼。熱彈性阻尼表征振梁振動時,受拉/受壓部位產(chǎn)生的熱量不同,由此產(chǎn)生的熱流動引起能量損失[6]。

本文從振梁力頻系數(shù)和熱彈性品質(zhì)因數(shù)的計算模型出發(fā),分析了兩者與振梁特征尺寸之間的關(guān)系,得出了兩者之間相互制約的結(jié)論及定量影響關(guān)系。建立了目標優(yōu)化函數(shù),綜合表征了振梁力頻系數(shù)與熱彈性品質(zhì)因數(shù)的影響,并分析了設(shè)計傳感器時如何綜合考慮諧振器的力頻系數(shù)和熱彈性品質(zhì)因數(shù)。

1 雙端固支石英振梁工作原理

雙端固支石英音叉（QDETF）諧振器由兩個平行的石英振梁構(gòu)成,兩個石英振梁在同一平面內(nèi)反相振動,作用于兩個石英振梁根部的力和力矩相互抵消,從而減小石英音叉的固定連接端與外界的能量耦合,降低了諧振時的能量損耗,從而提高了諧振器的品質(zhì)因數(shù)。通過合理設(shè)計諧振梁上的電極分布,利用石英晶體的逆壓電效應(yīng)驅(qū)動其諧振在預(yù)設(shè)模態(tài),雙端固支石英音叉的這種振動激勵方式具有原理簡單、抗干擾能力強、容易形成自激振蕩、易于檢測等優(yōu)點。

在石英振梁表面合理配置電極,利用石英晶體的壓電效應(yīng)激勵雙端固支石英音叉達到沿寬度方向的相反相位橫向彎曲振動模態(tài)[7]。橫向彎曲振動可以視作是兩個方向相反的伸縮振動的組合,以中性面為界,振梁一半受拉伸,另一半受壓縮,如圖1所示。根據(jù)石英晶體的逆壓電效應(yīng),通過布置表面電極,只有晶體軸x方向電場E1才能驅(qū)動石英音叉產(chǎn)生長度y方向的伸縮振動,即E1為有效電場。而晶體軸y方向、z方向電場E2和E3均為無效電場,無法激勵出長度方向的伸縮變形。因而,為了產(chǎn)生彎曲振動,必須在xoy平面內(nèi)的中性面兩側(cè)產(chǎn)生大小相等、方向相反的有效電場E1和-E1。

圖1 雙端固支石英振梁電極分布及實物照片F(xiàn)ig.1 Electrode distribution and photographs of quartz double ended vibrating beam

通過有限元的壓電耦合分析方法可以仿真圖1所示的音叉在壓電驅(qū)動力下的振動模式,采用ANSYS 13.0命令流實體建模方法,單元選擇為具有20節(jié)點的SOLID226實體單元模型,仿真結(jié)果如圖2所示。音叉的幾何尺寸為：長 3.7mm、寬0.09mm、厚0.1mm。由于石英晶體是各向異性材料,有限元分析中涉及晶體切型、電極、電場方向等矢量,因此石英晶體不能簡化為各向同性材料,材料的機電參數(shù)采用數(shù)據(jù)表的形式輸入到有限元軟件中。

圖2 壓電耦合分析得到的音叉彎曲結(jié)果Fig.2 Piezoelectric coupling analysis results for the bending deformation of quartz tuning fork

2 力頻系數(shù)分析

采用雙端固支石英振梁作為敏感元件的傳感器在工作時,被測量通過改變雙端固支石英音叉的軸向力來改變振梁的振動頻率。如圖3所示,取音叉的其中一根梁作為分析對象,采用經(jīng)典的Euler-Bernoulli細長梁理論,可以得到振梁一階固有頻率與軸向力的理論模型[8]。

由此,對于基頻振動,得到細長梁受到軸向力時振動頻率與一階固有頻率的關(guān)系

圖3 細長梁受軸向力時的Euler-Bernoulli模型Fig.3 Euler-Bernoulli model when the slender beam is subjected to axial force

式（1）中,f0為不受軸向力作用時梁的一階固有頻率,如式（2）所示；P為軸向力；l為振梁長度；E為石英楊氏模量；I為振梁極慣性矩,設(shè)梁的厚和寬分別為h和w,則慣性矩I=hw3/12。振梁的一階固有頻率表達式為

將振梁的尺寸參數(shù)（l、h、w）以及式（2）代入式（1）,取密度ρ=2.65×103kg/m3, 楊氏模量E=9×1010N/m2,可以得到細長梁受到軸向應(yīng)力時固有頻率與結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)之間的關(guān)系

如前所述,石英振梁通過表面布置電極,配合石英的壓電特性進行振動激勵與檢測,因此梁的寬度不應(yīng)太小,否則影響電極寬度進而引起振梁起振困難。本文取振梁寬度70μm～110μm范圍進行分析,振梁長度則選擇2mm～5mm范圍進行分析。根據(jù)式（3）得到石英振梁在考慮的尺寸范圍內(nèi),力頻系數(shù)隨振梁長度和寬度關(guān)系如表1和圖4所示。

圖4 振梁力頻系數(shù)隨長度和寬度的變化曲線Fig.4 Variation curves of force-frequency coefficient with length and width

從計算結(jié)果可以得出,在振梁寬度不變時,雙端固支石英振梁的力頻系數(shù)隨振梁長度增加而提高。當振梁長度從2mm增加到5mm時,力頻系數(shù)分別提升了 8.8%（w=70μm 時）、4.3%（w=80μm 時）、2.5%（w=90μm 時）和 1.6%（w=100μm時）。同時也可以得出,在振梁長度不變時,雙端固支石英振梁的力頻系數(shù)隨振梁寬度的減小而提高。當振梁寬度從100μm降低到70μm時,振梁的力頻系數(shù)分別提升了43%（l=2mm時）、43.8%（l=3mm 時）、46%（l=4mm 時）、53%（l=5mm 時）。

通過分析,可以得出以下結(jié)論：1）雙端固支石英振梁的力頻系數(shù)隨著振梁長度的增加、寬度的減小而不斷提高；2）振梁寬度對力頻系數(shù)影響大于振梁長度；3）振梁寬度越大,振梁長度對力頻系數(shù)的影響越弱。

3 熱彈性阻尼分析

石英振梁工作時處于彎曲振動狀態(tài),雙端固支梁的彎曲振動造成了梁的一部分處于受拉另一部分處于受壓。根據(jù)熱彈性阻尼可知,當梁受拉時,振梁的溫度下降；當梁受壓時,振梁的溫度升高。石英振梁的振動狀態(tài)被振梁長度的0.224倍和0.776倍分為三部分,且每一部分沿著梁寬度方向一半受拉另外一半受壓。由此,造成振梁工作時梁內(nèi)部由振動引起的溫度不同,引起熱能的流動,從而造成振動能量損失,降低了石英振梁的品質(zhì)因數(shù)。

由熱彈性阻尼引起的振梁品質(zhì)因數(shù)的理論計算公式如下[9]

式（4）中,E為楊氏模量；α為熱膨脹系數(shù)；ω為諧振角頻率,可以根據(jù)式（2）計算得到；Ta為絕對溫度；ρ0為石英密度；Cp為熱容量；τ為系統(tǒng)熱馳豫時間常數(shù),可表示為

式（5）中,h為振梁厚度,κ為熱傳導(dǎo)率。

采用有限元分析軟件COMSOL Multiphysics進行熱彈性阻尼的仿真計算,得到雙端固支石英振梁在振動時的溫度場分布,其相對溫度變化如圖5所示。

仿真過程中,采用的石英材料參數(shù)為泊松比λ=0.08、熱膨脹系數(shù)α=1.337×10-5K-1、熱容cp=744J/（kg·K）、熱傳導(dǎo)率κ=6.5W/（m·k）。 通過圖5可以看出,當雙端固支石英振梁工作于基頻狀態(tài)時,振梁上受拉變形區(qū)域溫度降低,受壓變形的區(qū)域溫度升高,與理論分析結(jié)構(gòu)一致。改變仿真過程中振梁的尺寸,得到振梁熱彈性品質(zhì)因數(shù)Q與振梁尺寸的關(guān)系如表2和圖6所示。仿真過程中,振梁尺寸取值與第上一節(jié)相同。

圖5 振梁的熱彈性變形分析結(jié)果Fig.5 Analysis results of thermal elastic deformation

表2 振梁熱彈性品質(zhì)因數(shù)與尺寸的關(guān)系Table 2 Relationship between thermal elastic quality factor and dimension

圖6 振梁熱彈性品質(zhì)系數(shù)隨長度和寬度的變化曲線Fig.6 Variation curves of thermal elastic quality factor with length and width

由分析結(jié)果可以看出,雙端固支石英振梁的熱彈性品質(zhì)因數(shù)隨振梁長度增加而減小（振梁寬度不變時）,隨振梁寬度的增加而增大（振梁長度不變時）。當振梁長度從2mm增加到5mm時,品質(zhì)因數(shù)損失了 83.7%（w=70μm 時）、83.3%（w=80μm時）、82.4% （w=90μm 時）和 81.9% （w=100μm時）；同時,當振梁寬度從70μm增加到 100μm時,品質(zhì)因數(shù)提升了155%（l=2mm時）、181%（l=3mm 時）、175%（l=4mm 時）、184%（l=5mm 時）。由此可以得出,振梁長度和寬度對熱彈性品質(zhì)因數(shù)的影響均比較大。其中,長度的影響大于寬度的影響。

4 石英振梁力頻系數(shù)與熱彈性品質(zhì)因數(shù)之間的矛盾關(guān)系及目標優(yōu)化函數(shù)的分析

通過前面分析可得出,對等截面細長石英振梁來說,振梁長度和寬度尺寸對力頻系數(shù)與熱彈性品質(zhì)因數(shù)的影響相反,兩者之間存在一定的矛盾關(guān)系。

在分析的范圍內(nèi),當振梁長度增加時,力頻系數(shù)提高了約1.6%～8.8%,而熱彈性品質(zhì)因數(shù)卻損失了82%～83%。因此,雙端固支石英振梁的長度對力頻系數(shù)的提升不太明顯,但是對熱彈性品質(zhì)因數(shù)的影響卻很大。在只考慮振梁力頻系數(shù)和熱彈性品質(zhì)因數(shù)的因素下,振梁的長度要短。但是,振梁變短的情況下,對于整個傳感器而言,在同等載荷下,振梁內(nèi)的軸向應(yīng)力也會變小。

當振梁寬度增加時,力頻系數(shù)降低了30%～34%,熱彈性品質(zhì)因數(shù)增加了155%～184%,振梁寬度對熱彈性品質(zhì)因數(shù)的影響略大于力頻系數(shù)。值得一提的是,如果振梁寬度增加,不僅力頻系數(shù)降低,振梁強度也會相應(yīng)增加,同樣導(dǎo)致傳感器內(nèi)載荷引起的軸向力變小,造成靈敏度降低。

為綜合評價雙端固支石英振梁長度和寬度對力頻系數(shù)與熱彈性品質(zhì)因數(shù)的影響,構(gòu)建目標優(yōu)化函數(shù)

式（6）中,fσ,max[lmin∶lmax,wmin∶wmax]和QT,max[lmin∶lmax,wmin∶wmax]為優(yōu)化尺寸內(nèi)力頻系數(shù)和熱彈性品質(zhì)因數(shù)的最大值,fσ和QT的計算方法見式（1）和式（4）。力頻系數(shù)和熱彈性品質(zhì)因數(shù)分別除以其優(yōu)化范圍內(nèi)的最大值,目的是進行歸一化處理,使力頻系數(shù)和熱彈性品質(zhì)因數(shù)的影響系數(shù)一致,從而可以更全面的表征兩者對傳感器性能的影響。

采用式（6）計算本文的音叉尺寸范圍內(nèi)目標優(yōu)化函數(shù)的PF值。將離散計算的16個數(shù)據(jù)點帶入式（6）的性能因數(shù)計算函數(shù),得到的PF值如圖7所示。從計算結(jié)果可以看出,隨著振梁尺寸的變化,PF值從0.064增加到0.64,且變化趨勢與振梁品質(zhì)因數(shù)的變化趨勢相類似。也就是說,振梁尺寸對品質(zhì)因數(shù)的影響大于對力頻系數(shù)的影響。為獲得最優(yōu)的PF值,得到最佳的力頻系數(shù)和品質(zhì)因數(shù),需要將設(shè)計的振梁長度變短,寬度變寬。

圖7 目標優(yōu)化函數(shù)隨振梁尺寸的變化曲線Fig.7 Variation curves of target optimization function with the dimension of vibration beam

在設(shè)計采用雙端固支石英振梁作為敏感元件的傳感器時,力頻系數(shù)是影響靈敏度的因素之一。如果能夠通過優(yōu)化彈性元件彌補振梁力頻系數(shù)的降低,可以優(yōu)先考慮熱彈性品質(zhì)因數(shù)的優(yōu)化。但是,隨著振梁長度降低、寬度增加,振梁的一階固有頻率也會相應(yīng)增加,對應(yīng)的諧振電路亦需要進行改進。同時,振梁長度降低、寬度增加,說明振梁的剛度也增加,由彈性元件引起的振梁內(nèi)軸向力也會損失,造成靈敏度的降低。為了獲得高的靈敏度和熱彈性品質(zhì)因數(shù),在設(shè)計雙端固支石英振梁及其傳感器時,需要綜合考慮振梁尺寸、彈性元件結(jié)構(gòu)等,在相互矛盾和制約中取最優(yōu)解。

5 結(jié)論

本文詳細分析了雙端固支石英振梁的尺寸對力頻系數(shù)與熱彈性阻尼的影響,并且發(fā)現(xiàn)兩者存在一定的相互制約和矛盾。在分析的尺寸范圍內(nèi),當振梁長度增加時,力頻系數(shù)增加了約1.6%～8.8%,而熱彈性品質(zhì)因數(shù)卻損失了82%～83%；當振梁寬度增加時,力頻系數(shù)降低了30%～34%,熱彈性品質(zhì)因數(shù)增加了155%～184%。綜合考慮力頻系數(shù)和熱彈性品質(zhì)因數(shù)的目標優(yōu)化函數(shù)PF值從0.064增加到0.64,且變化趨勢與振梁的品質(zhì)因數(shù)相類似,說明振梁尺寸對品質(zhì)因數(shù)的影響大于對力頻系數(shù)的影響。為獲得最優(yōu)的PF系數(shù),得到最佳的力頻系數(shù)和品質(zhì)因數(shù),需要將設(shè)計的振梁長度變短,寬度變寬。在設(shè)計雙端固支石英振梁及其傳感器時,需要綜合考慮振梁尺寸、彈性元件結(jié)構(gòu)等,以獲得最優(yōu)的雙端固支石英振梁尺寸。