淺談“數形結合”在計算教學中的運用

葉信麗

摘 要：計算教學抽象、枯燥。教師在計算教學中可運用“數形結合”，通過以形感知，理解算式意義;以形促思，探究計算算理;以形建模，掌握計算法則的方式，促使學生對運算意義的正確理解，領會運算算理，使形象思維與抽象運算完美結合。

關鍵詞：數形結合;運算意義;計算算理;計算法則

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 收稿日期：2019-03-18 文章編號：1674-120X（2019）21-0066-02

數形結合不僅是一種很好的數學教學方法，也是小學生學習數學的一種重要輔助方法。小學計算教學抽象、枯燥、乏味。在計算教學中，“數形結合”就是把計算教學中的運算意義、數量關系、算理等與圖形圖像有效結合，從而使“數”和“形”相輔相成，把抽象的數學問題變得具體形象。在計算教學中恰當地運用數形結合，能促進學生正確理解數的運算意義，深刻領會數的計算算理，使形象思維與抽象運算完美統一。

一、以形感知，理解算式意義

數學算式是數學的語言，具有抽象概括的特點，小學生受原有認知經驗的影響，往往不能正確理解它的意思。算式是計算的起點，如果連算式的意義都不理解，又談何正確地計算呢？所以在小學階段，結合圖形能讓學生正確理解算式表示的意義，能為正確計算鋪墊基礎。如筆者教學“除數是整十數的除法 口算和筆算”一課，教學例題“每20副陸戰棋打一包，60副可以打幾包？”時，學生面對算式60÷20等于幾時，有的說等于3，有的說等于30。為什么會出現等于30的錯誤呢？究其原因，是受到加減法數位對齊思維的負遷移，另外對算理也不理解，6÷2=3，怎么60÷20也等于3呢？對這一抽象的數學算式，學生無法用自己已有的經驗進行說明，所以讓學生理解60÷20為什么等于3尤為重要。這時候，形的引入是極其必要的。

（1）喚起生活經驗：如果用60根小棒表示60副陸戰棋，60根小棒該怎么表示？根據已有的經驗，學生把60根小棒捆為6捆，小棒每10根一捆，就明白了60就是6個十。

（2）以小棒為載體，表示出60÷20的結果。如果用6捆表示60根，你能通過畫一畫、圈一圈表示出60÷20等于幾嗎？學生以20根為一份，分成3份，在直觀的小棒圖中，看到6捆÷2捆=3→6個十÷2個十=3→60÷20=3。

這里，當學生有不同答案時，教師用小棒代替陸戰棋，在圈一圈中，化靜為動，讓學生直觀地看到60里面有3個20，理解算式60÷20所表示的意義。此處圖形適時引入，清晰、形象地把算式的意義表示出來，在理解與說理的基礎上，答案自然就水到渠成。

（3）適時想象：教師指著一捆問：“如果這一捆是一百根呢？那算式怎么表示？”引出600÷200=3，6000÷2000=3……因為有小棒圖的表象支撐，學生馬上明白600÷200=3就是6個百里有3個2百，6000÷2000=3就是6個千里面有3個2千。在這個過程中，因為小棒圖形的介入，學生“分”“畫”“想”，充分調動多種感官，用圖形的方式表示出算式，獲得豐富的直觀感知，接著又借助形，拓展了形的意義，從一個圖聯想出一連串的算式，充分發揮形的作用，拓展了思路。

二、以形促思，探究計算算理

著名數學家華羅庚說：“數起源于數，量起源于量。”顧名思義，每個數都是計數單位的累積。所以，四則運算的本質就是計數單位的個數的運算，不管是整數、小數，還是分數，算理實質是一致的。如何讓學生明白計算的本質即算理呢？算理是隱藏在計算法則背后的道理。計算教學應讓學生在理解算理的基礎上掌握計算方法，做到“知其然，然后知其所以然”。這樣才能靈活應用，舉一反三，從而培養學生思維的靈活性。學習“小數的加法和減法”時，面對例題2.54+1.3，學生自己嘗試后，出現了三種不同的豎式：

面對三種不同的答案，教師并沒有馬上作出判斷，而是引導學生思考：在遇到數學困難時，我們是怎樣解決問題的？學生紛紛說出詢問他人、獨立思考、畫圖幫助、聯系生活經驗、借助數學工具等方法。接著教師出示學習單，讓學生用多種方法去探索2.54+1.3的和是多少。學生經過一番思考，在交流中展示了不同的探索方法。

方法一：聯系生活實際理解：

方法二：借助數學工具計數器

方法三：畫百格圖理解算理

通過方法一和方法二的展示、生生交流、教師引導，學生理解到生活中只有相同單位的數才能相加;小數加法中，只有相同數位的數才能相加。而百格圖的介入，讓學生直觀地看到1.3的3表示的是3個直條，即3個0.1，5表示的是5個直條，即5個0.1;明白十分位的3只能和十分位的5相加的道理，是因為它們的計算單位相同。而4表示的是4個小方格，即4個0.01。3和4的計數單位是不一樣的，不能直接相加。在三種方法中，顯而易見，方法三是錯誤的，只有方法二是正確的。計數器和百格圖的引入，使學生不僅明白小數加法時要相同數位對齊，而且明白數位對齊是為了讓相同計數單位的數相加，這是隱藏在算法背后的道理。學生借助多種圖形的方式，不僅找到了答案，更重要的是直觀地理解了算理。在親身經歷“數形結合”的過程中，學生發現不管是用什么方法，都是為了說明一個道理：相同計數單位的數才能相加減。小數加減的本質內涵在多種形態的圖形中被發掘出來，并形成“相同計數單位的數才能相加減”的本質認識。

三、以形建模，掌握計算法則

學生計算能力的提高，離不開熟練運用計算法則。小學階段學生對計算法則的概括總結也離不開數與形的結合。從原生態的形到抽象意義的形，借助“形”承載“算”的意義和步驟，逐步建立數的運算法則、規則模型。讓計算法則的概括在形與數的穿梭中逐漸建立與發展起來。計算教學中，學生是在理解算理的基礎上掌握運算方法。通過道理的引領，讓計算法則的建立有基礎、有根基。

如在分數的乘法學習中，融入折一折、畫一畫的操作，圖形的幾何直觀隱藏著計算的過程。學生經歷了教材中例4與例5兩次的梯度探索：①動手操作的是這張紙的幾分之幾？的是這張紙的幾分之幾？②接著直接根據乘法算式在圖中畫斜線表示計算結果，觀察算式與圖形，算法盡在圖中。隨著數字的變化，圖形已不能滿足學生計算的需要。在觀察圖形的基礎上，學生能找出計算的法則，對“分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母”的概括水到渠成。學生在闡述計算方法的過程中有圖可依，在直觀的充分體驗中經歷了動作思維-形象思維-抽象思維的過程，而這個過程直觀的表象發揮了重要的輔助作用。

×=？用一張長方形紙折一折，涂一涂，想一想，再算一算。

又如，乘法分配律歷來是學生學習的難點，有的教師忽視了構建算式的結構特征，以致學生對算式的特征感知不夠充分。筆者在教學中創設這樣的情境：“一件上衣65元，一條褲子35元。買10套這樣的衣服，一共需要多少錢？”學生審題后，教師將具體的上衣、褲子抽象成錢數，形成如下示意圖：

65 ?65 ?65 ?65 ?65 ?65 ?65 ?65 ?65 ?65 ? ? ?65×10

35 ?35 ?35 ?35 ?35 ?35 ?35 ?35 ?35 ?35 ? ? ?35×10

學生在橫向和縱向的觀察中得出兩個不同的列式，并發現：65×10+35×10=（65+35）×10，這就是乘法分配律的模型。學生在讀中發現這兩部分是緊密關聯的。師提問：“為什么這兩個算式是相等的？你能用以前所學的知識說一說理由嗎？”學生借助乘法意義破解了“為什么”，對新的等式產生了初步的體驗。單純從乘法算式意義的角度解讀算式是不夠的，學生還要發現這類算式的結構特征，在列舉的基礎上，發現數字特征：都有一個共同的乘數，運用符號抽象出乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c.回顧學生原有的點子圖知識學習經歷， 如“兩位數乘一位數的口算”，14×2=28可以這樣口算：10×2+4×2=28。無論是哪一種方法，實質都是應用了乘法分配律。而長方形周長的計算中的兩種計算方法：28×2=56（米），15×2=30（米），56+30=86（米）;（28+15）×2=86（米），也是乘法分配律的運用。讓學生憑借經驗中的算法驗證這種變化的合理性，這樣學生建立起的乘法分配律的模型是豐滿而深刻的。

理解算式的意義、探究計算的算理、掌握計算的法則是計算教學中的三大環節，當然，在不同的計算課有不同的側重點。不管在什么環節，數形結合的巧妙運用，都能起到事半功倍的作用，促使學生運算能力和抽象思維水平的提高。

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