為表達世界而建模
——《指數函數》三次備課思考

張玲玲

(常熟市梅李高級中學 215500)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《課標》)指出：“數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學知識和方法構建模型解決問題的素養.”數學建模具有重要價值，它“是應用數學解決實際問題的基本手段，也是推動數學發展的動力.”雖然在過去的教學中，一些教師也關注到數學建模，但多數教師僅僅限于專題講座或者對于特殊的教學內容在教學過程中加以體現，并沒有把數學建模作為高中數學核心素養貫穿在日常的教學過程中.那么，如何結合具體內容的教學，以具體知識為載體，讓學生經歷數學建模過程，學習數學建模的方法，提升數學建模素養，進而養成用數學語言表達世界的思維習慣，這是值得深入研究的問題，也是教學觀念的重大轉變.本文結合“指數函數”的三次教學設計過程，對此作以探索.

1 關注載體，為獲得知識而建模

指數函數是學生在學習了函數的概念、圖象與性質后，學習的一個新的函數模型，也是運用研究函數的方法研究函數的一次實踐．通過指數函數的學習，學生可以進一步深化對函數概念的理解，為研究對數函數、三角函數等其他初等函數打下基礎.因此，指數函數的概念、圖象、性質、運用等基礎知識非常重要，這些知識既是進一步學習函數的基礎，也是學生經歷一次建立數學模型過程的有效載體.在第一次教學設計時，我們首先要梳理清楚指數函數的知識體系.

在教學過程中，為了幫助學生建立起比較完善的知識結構，本節課就要解決如下問題：

問題1什么是指數函數？

問題2怎樣畫出指數函數的圖象？

問題3指數函數有哪些性質？

問題4如何比較下列各組數的大小？(1)1.52.5,1.53.2;(2)0.51.2,0.5-1.5.

問題5本節課你學到了哪些指數函數的知識？

這些問題的解決，可以使學生獲得指數函數的基礎知識與基本技能，形成指數函數的知識結構，為學生后繼學習與思考奠定基礎.當然，知識、技能不是課堂教學的最終目標，而應是一種有效載體，讓學生在知識、技能獲得過程中，獲得建立指數模型的方法，感悟用數學語言表達世界的觀念，以實現數學教育的更大價值.目前一些教學設計，特別是一些“活動單”“導學案”“學案”的設計，都僅僅停留在知識、技能的獲得層面，無論課堂教學過程中是否采取“探究”“合作”“交流”活動，實際上學生得到的只是“是什么”，快速到達“目的地”.這樣的教學，貌似提高了學生的學習效率，其實對提升學生數學素養是不利的.

2 關注過程，為獲得方法而建模

《課標》指出，數學建模的過程主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題、分析問題、建立模型、改進模型、解決問題等.數學建模不僅僅是最后的數學模型，更為主要的是借助于日常的數學活動，以具體的教學內容為載體，讓學生經歷數學建模過程，學會數學建模的基本方法.指數函數是高中數學的一個典型的數學模型，借助于指數函數模型的建立過程，引導學生感悟數學建模的基本方法，是指數函數的重要教學目標之一.在第二次教學設計時，我們認真梳理指數函數的生成過程與學生的思維過程.

問題1某種放射性物質不斷變化為其他物質，每經過一年，這種物質剩余的質量是原來的84%．如果經過x年，該物質剩余的質量為y，x與y之間具有怎樣的關系？

你有什么發現？

問題3結合以前研究函數的方法，我們怎樣研究指數函數?

問題4指數函數的性質可以解決哪些問題？

這些問題的解決，讓學生從實際情境中發現問題、提出問題，先建立特殊的指數函數模型，進而得到一般的指數函數模型，并對其中的參數進行討論，畫出圖象，探究指數函數的性質，進而用這些性質去解決一些簡單的問題.在建立與研究指數函數模型的過程中，學生體會并獲得建立數學模型的基本方法.同時，也獲得相應的數學知識.這里的過程，既是數學建模的過程，也是學生思維的過程，只有讓學生經歷這樣的過程，才能獲得一般的研究方法，進而形成思考一類問題的思維習慣，學生不僅獲得“是什么”，同時獲得“怎么做”.

3 關注理念，為表達世界而建模

為了實現指數函數的教育價值，使指數函數成為學生研究函數一般方法與過程的典型案例、成為學生經歷數學建模過程的有效載體，讓學生在指數函數的學習過程中體驗用數學語言表達世界、感悟數學與自然的緊密聯系.在第三次教學設計時，我們重新思考，堅持培養學生數學建模素養的理念，對本節課的明線(知識)、暗線(過程與方法)進行重新梳理，有機融合.

在教學過程中，要幫助學生養成“為表達世界而建模”的思維習慣，讓學生在獲得指數函數的知識過程中，體會數學建模的方法，本節課最終教學設計如下：

(1)創設情境，提出問題

情境2某種放射性物質不斷變化為其他物質，每經過一年，這種物質剩余的質量是原來的84%．如果經過x年，該物質剩余的質量為y，x與y之間具有怎樣的關系？

情境3《莊子·天下篇》中有一句話，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”．如果經過x天，該木棰剩余的長度為y，x與y之間具有怎樣的關系？

問題1你能寫出這幾個問題的函數模型嗎？

設計意圖引導學生建立具體的指數函數模型，感受指數函數與自然世界的聯系．讓學生感受到這些模型與初中已經掌握的一次函數，二次函數，反比例函數是不一樣的，進而發現問題，提出問題.

(2)建立模型，獲得概念

問題2通過這幾個函數，你發現了什么？

設計意圖引導學生從具體實例中概括典型特征，從“特殊”到“一般”進行抽象，建立指數函數模型，并嘗試自己給出指數函數的定義. 讓學生在建立指數函數模型過程中，學會用數學的眼光觀察世界，再用數學的語言表達，進而培養學生數學建模素養.

數據挖掘系統構架按不同層次劃分為4部分：云計算平臺、數據準備、數據挖掘算法和數據分析(圖3).云計算作為整個系統架構的底層計算平臺，借助云計算的處理能力，完成數據的清洗、集成、選擇和加載等準備過程.為了支持數據挖掘算法中的分析型查詢操作，同時還需為數據建立索引.借助于這些方法便可實現面向大數據的各種應用，如時空模式發現、可視化分析等.

(3)研究模型，感悟方法

問題3怎樣研究指數函數呢？

設計意圖引導學生回顧初中研究一次函數，二次函數以及反比例函數的研究內容和方法，從兩個角度思考：

(i)從指數模型的解析式出發，從“數”的角度去研究這個模型.

對于一般的數學模型，怎樣選擇“突破口”？在探究學習的過程中，學生可以通過選擇一些“特殊”的數進行探究，也可以對“式”進行邏輯分析，推理出一些結論. 例如：對于y=2x，可以對自變量x賦值，觀察與之對應的y是如何變化的；也可以令其中的x為-x，觀察對應得到的y的變化情況.

(ii)從指數函數的圖象出發，從“形”的角度去研究這個模型.

如何畫出指數函數的圖象？先回顧初中時掌握的“描點法”的作圖步驟：列表，描點，連線；然后結合這些步驟，給學生布置任務：選取數據，畫出圖象，觀察特點，歸納性質.

問題4指數函數具有哪些性質？

設計意圖在探究性質這個環節，讓學生小組合作，無論是從“數”的角度、還是從“形”的角度出發，都要注意“代表性”、“邏輯性”. 例如，在同一個坐標系中多作幾個函數圖象，進而“讀”出指數函數的性質，再嘗試進行簡單的證明或者說明.

通過探究活動，使學生對指數函數的研究過程與方法有了深刻的認識．學生可以從“數”的角度去“讀”，是對符號語言的理解，學生也可以從“形”的角度去“讀”，觀察圖象，是對圖形語言的理解，為以后研究函數模型乃至數學模型奠定方法基礎．

引導學生經歷從“特殊”→“一般”→“特殊”的認知過程，從合作交流、共同探討中的氛圍中，認識指數函數的概念、圖象和性質，同時了解指數函數的實際背景和研究函數的基本方法；體會分類討論思想、數形結合思想，增強學生識圖用圖的的能力.

(4)運用模型，解決問題

問題5怎樣比較下列各組數中兩個值的大小？

(1)1.52.5,1.53.2;(2)0.51.2,0.5-1.5;(3)1.50.3,0.81.2.

設計意圖通過指數函數性質的簡單應用，體會構造函數的思想(同底和不同底的兩種類型)，再運用指數函數的單調性解決問題，也包含了指數函數單調性的逆用.

(5)回顧反思，提升素養

問題6我們是怎樣研究指數函數的？

設計意圖引導學生回顧指數函數的研究過程：提出問題、建立模型、研究模型、運用模型.

進一步引導學生回顧每個環節：怎樣在具體情境中發現問題、提出問題？建立數學模型的一般過程與方法是什么？怎樣研究數學模型？怎樣運用函數模型解決問題？

進而讓學生感悟：研究指數函數的基本過程與方法，也是研究函數的一般過程與方法，為以后研究新的函數奠定基礎．

本節課力圖實現“為表達世界而建模”的理念. 首先是精心設計問題情境，讓學生感悟數學是從自然世界中來，構建數學模型研究，再回到自然世界中去. 這樣，既有助于增強學生的創新意識，又有助于增強學生的實踐意識. 概而言之，建模意識和能力是在有價值的問題情境及數學應用情境中得到激發和培育的. 其次是注重數學建模過程，重視培養學生能從實際問題中建立數學模型的能力，學會用數學的眼光觀察世界. 本節課的目的就是要呈現給學生一個比較完整的研究指數函數的過程，為以后其他基本初等函數的學習樹立標桿. 換言之，在教學中，數學概念和原理獲得過程的價值，遠遠超過運用它去機械解題的能力. 知其然，還要知其所以然，過程往往比結果更重要. 第三是培養學生的數學思維習慣. 數學建模是對現實問題進行數學的抽象，用數學的思維分析，用數學語言表達，用數學方法構建模型解決問題的素養. 數學模型搭建了數學與外部世界聯系的橋梁，是數學應用的重要形式. 數學建模是應用數學解決實際問題的基本手段，也是推動數學發展的動力. 養成良好的數學建模的思維習慣，有助于學生今后的學習和發展，也是培養創新性人才的必備素養. 不僅要獲得指數函數“是什么”，而且以“是什么”作為載體，通過探究“是什么”的“怎么做”的過程，知道“為什么”.