基于元認知理論的數學教學有效性的實踐研究
——以兩角和與差的正切公式的教學實踐為例

譚瑞軍

(江蘇省華羅庚中學 213200)

元認知概念由美國心理學家弗萊維爾(Flavell，1971) 提出后，逐漸成為當代教育心理學的熱點之一.弗萊維爾認為元認知是個體對本身認知系統的內省知識，即認知的認知.具體地說，就是關于個體自我認知過程的知識和調節這些過程的能力，即個體對思維活動的自我體驗、自我觀察、自我監控和自我調節.它在個體的整個認知活動過程中發揮了決定性的作用，能控制調節認知活動的方向和內容，并能促進個體認知思維能力的提升[1].數學是建立在對具體物象的反省抽象基礎之上的研究數量關系和空間形式的學科，也就是說數學思維在很大程度上是反省思維，這恰恰是元認知的一個重要方面.從數學問題的解決過程看，個體通過對思維路徑的生成、評估和調節，使問題得到圓滿的解決，這些活動都包含了元認知成分.因此，數學教學的根本任務就是造就學生良好的認知結構,并培育其后繼發展成長需要的必備品格和關鍵能力.高中數學教師應從元認知的視角出發，努力開展提升教學有效性的實踐探究.以下筆者就以兩角和與差的正切公式教學實踐為例談一些粗淺的想法.

1 從元認知視角尋找知識與認知邏輯的嵌合點，系統敘寫教學目標

《學記》有言“學然后知不足，教然后知困，知不足后能自反也；知困然后能自強也.故曰教學相長也”.這里所說的自反和自強指的就是元認知在教和學的過程的體現.就課堂教學目標而言，它是指課堂教學活動實施的方向和預期達成的結果，是學生所獲得的能力與品格的狀態的描述，總體來說其成分應該是學科必備品格和關鍵能力[2].因此，課堂教學的目標應該主要以學生學習后的素養狀態來表達，也就是需要明確課堂教學的知識、能力和素養目標，進而基于元認知理論制定和選擇有效的教學策略.

在高中數學兩角和與差的正切公式教學中，常看到這樣的教學目標設定：1.理解并熟記兩角和與差的正切公式； 2. 會應用公式解決求值問題.這樣的表述對教學有效性的理解是膚淺的，偏重學科知識的掌握，而學科素養、能力、思想乃至價值觀的發展指向敘寫缺失.數學課程標準指出，數學教學活動必須建立在學生認知發展水平和已有知識經驗基礎之上.這就要求教師在研究教材、教法同時，加強對學生的研究，關注學生的認知基礎，關注學習能力、情感、態度和價值觀的培養過程，并以元認知的視角加以激發調適.課堂教學目標的預設敘寫是非常重要的，預設不充分，敘寫不周全，就難以較好的激發學生參與數學活動的積極性，學生各個維度的能力素養就得不到預期的發展.因此，課堂教學目標的預設敘寫是教學活動開展的首要環節，基于元認知視角，我們應該有以下認識：

(1)整體把握教材是有效教學的前提.教材內容的安排，通常蘊涵了知識發生發展的線索.教師首先要深入研讀文本，明晰教學內容，縱向要把握知識發生發展的來龍去脈，橫向要溝通方法思想的內在聯系，從而把握其在整個單元乃至中小學數學課程中的地位和作用.其次，教師還需要能對教學內容所承載的教育價值進行分析，探究挖掘教學內容背后蘊涵的學科素養及關于人的發展的價值：知識和方法的應用價值，知識探索或應用過程中的思維價值，學習過程中對于人的情感、態度、價值觀形成的價值.只有這樣，才能將知識、方法建構成體系，才能促進學科眼光、思維和思想的融合升華[3].兩角和與差的正切公式是高中數學三角函數知識網絡中的重要節點，既是三角函數和平面向量知識的進一步延伸，又是學習二倍角公式等后繼內容的基礎，起著承上啟下的重要作用.而無論是兩角和與差的余弦、正弦公式，還是正切公式，都很難通過直覺猜測結論，一般只能通過邏輯推理獲得正確的結果.因此，其獲得研究思路和證明的過程往往是結合在一起的，而且在培養直觀想象、邏輯推理等核心素養上是把握教材的重要體現.

(2)深入掌握學情是有效教學的保證.掌握學情包括教學對象的心理特點、知識基礎、思想狀態、思維方式、學習方法、學習態度等，要把學生置于教學的核心地位.教師應該以學生的心智發展為根本，深入了解學生現有的認知水平和情感狀態，研究學生的發展需要，在準確把握學生的認知水平的基礎上，確定教學目標和實施路徑，預測教學過程中學生可能發生的認知困難并設計相應的策略.高一年級學生思維方式大都以初中經驗型抽象邏輯思維為主，對常量、定量的計算較為熟練，而高中數學內容對理論型抽象邏輯思維能力要求較高，多研究變量、字母，不但注重定量計算，還注重理論分析，常常需要作定性的研究和說明.另外，許多學生的學習方式還未能適應高中階段學習的特點，他們往往喜歡直接記憶相關的數學公式及性質，在解題中常常套用結論，卻對結論的來源不求甚解，對知識方法的應用也不能自覺的進行變通和遷移.基于以上認識，從元認知理論出發，本節課的教學目標可作如下系統表述.

知識目標：

1.通過利用兩角和與差的余弦公式對正弦、正切公式的探究，加強對和差角公式的認識.

2.熟悉推導兩角和與差的正弦、正切公式的過程，體會三角變換的規律、技巧及代換法的作用.

3.學會公式的簡單應用：正用、逆用與變形用.

能力目標：

1.通過對兩角和與差的正弦、正切公式的探究和推導，提高學生邏輯推理能力.

2.通過公式的靈活應用，培養學生的方程思想和變換能力.

3.培養學生思維的有序性、表述的條理性和推理的嚴密性.

素養目標：

1.利用公式的推導過程，讓學生體會知識事物間的內在聯系.

2.培養學生用聯系、變化的辨證唯物主義觀點分析問題.

3.通過教師啟發引導，重視數學核心素養的培養，重視培養學生求知精神和解決問題的能力.

4.通過對公式的觀察對比，發現兩角和與差的正弦、余弦、正切值與單角的三角函數值之間的和諧、輪換結構，讓學生感受數學公式的自然美、抽象美.

2 從元認知視角把握教學進程與策略的切入點，構建生態教學進程

現代教學系統一般由教師、學生、教學內容、教學媒介、教學策略和教學評價等六個要素組成，各要素的運動變化具體表現為教學活動進程.教學活動進程是課堂教學設計的核心，教學目標、教學任務、教學對象的分析、教學媒介的應用、教學策略的選擇等，都將在教學活動進程中得到具體體現[4].從元認知視角出發，要將諸多要素構建為有效的教學生態系統，我們應重點把握如下方面：

一是教學活動進程規劃.教學活動進程是為實現教學目標而設計的，可以單一教學片段對應單或多個教學目標，也可以多個教學片段對應單或多個目標.從本節課的教學內容和學情分析來看，無論是兩角和與差的余弦、正弦公式，還是正切公式，形式上都比較復雜，高一學生很難直觀猜想到正確結論，一般只能通過邏輯推理獲得正確的結果.因此，獲得研究思路和證明過程是共生交織在一起的.現有的高中數學教材通過具有同化與形成意義的思考過程，依次提出求兩角和與差的余弦、正弦、正切公式的問題，然后再進行相應的應用和變形訓練，這樣的進程安排符合學科教學內容的邏輯特點和學生學習認知發展的規律.

二是教學策略的制定.教學策略是為了實現教學目標，完成教學任務所采用的方法、步驟、媒介和組織形式等教學措施構成的綜合性方案.其主要作用就是根據特定的教學條件和需要，制定出向學生提供教學信息、引導其活動的最佳方式、方法和步驟.在教學設計中注重觀察力、聯想能力的培養，從數學本質到學生認知特點，系統設計培養學生直覺想象、邏輯推理等方面的素養，從而有效提高學生發現問題、提出問題和解決問題的能力.因此，在教學引入階段問題情境的創設上，應著重引導學生聯想正切與余弦、正弦的同角三角函數關系，在兩角和的余弦、正弦公式的基礎上推導兩角和的正切公式，并形成一系列的問題串，激發學生的探究興趣，并通過小組合作等教學組織形式探究解決下列問題：

(1)正余弦之間如何轉化，可否利用cos (α+β)公式來推導sin (α+β)的公式？

(2)sin (α-β)公式如何推導？你能用幾種方法來推導？

(3)tan (α+β)如何由tanα和tanβ表示出來？使用切化弦能否解決此問題？

(4)你能推導出tan (α-β)公式嗎？有幾種方法？

在得到兩角和與差的正切公式后的新知鞏固階段，就應該引導學生厘清兩角和與差的余弦、正弦、正切公式之間的邏輯聯系，并通過適量的例習題訓練加以強化鞏固，然后應用適當的媒介對學習成果加以總結展示.譬如板書就可以設計成如下形式：

公式與結論展示區學生成果展示區多媒體課件展示區學生成果展示區

再把諸如兩角和與差的正弦、余弦、正切共6個公式之間的邏輯聯系框圖在公式與結論展示區板書，學生典型的證明和解題方法在學生成果展示區展示，與多媒體展示區共同形成高效的視覺傳遞效果.(邏輯聯系框圖如下圖所示)

三是課堂教學評價.現代認知科學認為，“知識是不能被傳遞的，教師在課堂上傳遞的只是信息，知識必須通過學生主動建構才能獲得”[5].學習就是一個不斷打破原有的認知結構平衡發生同化或順應組建新的認知結構達到新的平衡的過程，學生的數學學習可以看成是數學知識結構轉化成學生認知結構的過程.而課堂教學中適切而形式多樣的評價能觸及學生的認知邊界，激發新舊認知結構和方式的沖突，引導學生調動學生在課堂學習過程中不斷反省認識自我，在問題解決中調整、優化認知思維方式，是教學生態系統的重要活力源泉.在此立場下我們對照梳理本節課的教學目標和進程，重點把握以下幾個契機：

(1)在新知探究的問題情境，尤其是在探求tan (α+β)與tanα，tanβ的關系式環節，教師要對學生的思維過程和方式進行及時的評價，通過展示、對比和分析，促動學生回顧兩角和與差的余弦、正弦等舊有公式的推導過程，把思維路徑從通過個例盲目猜想調整到方法類比、函數轉化的邏輯推理上來，為公式的獲得證明尋找到較為有效的推演路徑.在總結性評價時，我們要引導學生厘清兩角和與差的余弦、正弦、正切公式之間的邏輯結構關系，通過邏輯聯系框圖讓學生認識到余弦和正弦公式之間本質上的關聯；而由正切公式推導余弦和正弦公式理論上可行，實際上很困難(余弦、正弦、正切的同角三角函數關系比較復雜).這樣，教材的編寫意圖(“兩角和與差的余弦公式”→ “兩角和與差的正弦公式” →“兩角和與差的正切公式”)將一目了然.

(2)在公式獲得證明之后，觀察分析公式的特點時，要通過引導性的評價，一方面讓學生從運算形式特征的角度觀察總結，公式Tα±β涵蓋了代數運算中最基本的和、差、積、商運算，且兩者之間的加、減符號呈現了一定的對稱結構，這樣的對稱特性源自于公式Sα±β和Cα±β的結構特征以及正切函數的奇偶性(tan(-β)=-tan (β)).另一方面讓學生思考公式成立的必要條件，從關注cosα·cosβ≠0這一適用條件出發，證明tan (α+β)有意義與cos (α+β)≠0及1-tanαtanβ≠0是等價的，這些過程中的觀察、對照和調整是學生數學學科素養的基礎生成點.

(3)在新知鞏固的環節中，從代數式變形以及不同形式變量相互表示的角度，通過例習題的講解訓練引導學生發現，公式Tα±β可以變成“角的正切的和、差或積等于角的和、差的正切”的形式，即tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanαtanβ)等，讓學生體會數學公式運用的靈活性，激發學生敢于改變創新的勇氣和熱情.

3 從元認知視角探求學科素養與表征的結合點，存續教學內涵的價值

布盧姆說：“人們無法預料課堂教學所產生的成果的全部范圍.”課堂教學系統構成的復雜性和因此帶來的學生發展的多元性，其對學生的全方位、深層次的影響不是完全以我們的主觀意志為轉移的.但我們可以預見的是，課堂教學內涵的育人價值會在課外持續延伸.從數學學習活動的結構來看，課堂教學僅僅是數學學習發生的一個起點或節點，由此產生的數學學習的需要和目的是其內涵的主要價值.一方面，學習的需要決定了課堂教學情境的意義，對學生來說，這是課堂教學情境能否成為“長效刺激”，從而“產生”數學學科興趣的關鍵.另一方面，學習的目的是指引數學活動方向的決定性要素，兩者共同作用形成了學生的數學學習動機.兩角和與差的正切公式的教學就是要通過三角公式的獲得和證明，讓學生發現看似紛繁復雜的代數式背后所蘊涵的對稱美、邏輯美和方法美，從而產生持續學習數學的興趣動機.

從數學學習活動的機制來看，任何數學學習活動都是對外部的信息結合內在的資源進行對比融合加工處理的過程.這個過程包含信息的輸入、加工、輸出和反饋等環節.其中，信息的輸入——輸出環節的基本功能是實現信息的變換，使外來信息得以接收、加工、儲存和提取，這一環節的基本心理動作是各種形式與各種水平的編碼與譯碼活動.反饋環節的功能在于實現對數學學習的控制，通過回收輸出信息的結果與原定目的進行對比，從而檢驗數學學習的成效，或者調節信息的再輸入、再加工或再輸出，最終使學習達到預期成效.由此反觀我們的數學課堂教學，教師就應該充分挖掘學科的育人內涵，通過課堂教學生態系統的構建，促動學生生成盡可能多的學科認知方面的方法和思維，為自身認知結構的擴充重組提供充足的養分.教師應該鼓勵學生從數學學科的整體聯系來理解問題，在問題解決中不斷監控、反思和調整解題策略，要經常激發學生自省設問：“我可以換一種方式看這個問題嗎?”、“這個問題與我以前遇到的類似嗎?”.兩角和與差的正切公式的證明是本節教學中的核心環節，在此環節學生除了通過切化弦這樣的代數式變形證明公式，也會很自然地從正切的定義，即三角形或單位圓中的幾何表示中尋找思路.在此基礎上，我們應該指出：證明兩角差的余弦公式時，除了基于坐標表示的向量方法，人教版教材還給出了基于單位圓的幾何方法；而同一個角的余弦、正弦和正切之間具有等價關系.在學生認識到三角函數具有形(幾何)和數(解析)雙重表征的基礎上，引導學生得出銳角兩角和的正切公式的幾何證明：銳角的正切是直角三角形中的兩條直角邊之比，從而拼接出如右圖所示的四個直角三角形.至此，學生體會了“數與形以及演繹”的知識整體聯系，也進一步完善了頭腦中的數學認知結構，為后續更高水平的學習打下良好的基礎.

基于元認知理論的數學教學有效性的實踐，不僅能發揮學生主體作用，而且能通過核心問題的探究解決，培養學生積極進取的態度、理性思辨的能力和善于反思調控、勤于歸納總結的習慣，這也是以學生為本的教育理念的體現.我們應該從元認知理論出發，深入研究學生數學認知結構、認知過程、認知策略的變化與數學學習的交互作用過程，更加深刻地認識數學學習中的心理機制問題，并以此在教學實踐中尋求高中數學課堂教學有效性提升的著力點.