解密數學抽象 探索教學策略①

張金良

(浙江省教育廳教研室 310012)

眾所周知，抽象無處不在，抽象無處不有，在人們日常生活與教學活動中依據各自的理解被廣泛使用著，比如“這個內容太抽象的”，“你用的方法太抽象了”，等等，但這里所說的抽象，僅僅是人們對抽象的一種通俗理解，把憑借生活經驗不易理解的東西歸結為抽象；但作為學術定義，它有一個明確的界定，“抽象”一詞最早來自拉丁語中的“abstracio”，表示排除、抽取的意思.《辭海》中將“抽象”定義為：從許多事物中，舍棄個別的、非本質的屬性，抽象出共同的、本質屬性或特征的思維過程，由此可見抽象的過程是一個概括、分離和提取的過程.抽象是思維的基礎，是對同類事物的刻畫與構造.而數學抽象又有怎樣的內涵與特點？數學教學實踐活動又如何去培養呢？下面作深入的分析，供參考.

1 數學抽象的內涵及其相關概念

數學抽象是指舍棄事物的一切物理屬性，得到一個數學對象的思維過程.它主要從數量與數量關系、圖形與圖形關系兩方面抽象出數學概念及概念之間的聯系，從事物與事物之間的聯系、事物內部要素之間的聯系中抽象出一般規律和結構，并用數學語言加以表征.通俗地講數學抽象是通過觀察、分析，撇開數學對象的外部的、偶然的、非數學的(物理的、化學的、社會的)東西，分析與提煉出其本質、內在、必然的東西，從空間形式和數量關系上揭示數學對象的本質和規律的一種數學研究方法．數學抽象素養是通過對具體而生動的數學問題進行分析與提煉，概括出一般結論，并應用于解決新的問題之中來體現.數學抽象反映了數學的本質特征，是數學六大核心素養的核心，貫穿于數學教學的全過程.

從內容上看，數學抽象包括數學概念、命題、方法和體系的抽象.其中數學概念的抽象是指通過抽象活動形成數學概念；數學命題的抽象是指通過抽象建立數學概念的因果關系，形成命題和規則；數學方法的抽象是指通過對數學操作程序的抽象，形成數學方法、數學思想和解決問題的策略；數學體系的抽象是指通過對概念、命題、方法和思想的抽象，建立概念、命題(規則)之間的普遍聯系，形成數學體系.

數學抽象具有一些典型的特點.鄭毓信在“數學抽象的基本準則：模式建構形式化原則”(《數學通報》，1990(11)：9-11)中認為數學抽象具有理想化、精確化、模式化的特點，李昌官在《數學抽象及其教學》文中，指出數學抽象具有純粹性、精確性、理想化、模式化、形式化五個特點.兩位學者已表述的很正確，本文吸收上述的觀點，用更具體的語言再說說其特點：數學抽象具有高度概括，結論更具有一般性，表達簡約、精確、能用數量化、符號化、公式化和圖形化刻畫.

數學抽象的類型很多，根據抽象對象的不同，數學抽象可分為性質抽象、關系抽象、等價抽象等.所謂性質抽象是指關于研究對象某一方向的性質或屬性的抽象；所謂關系抽象是指關于研究對象的數量關系或空間位置關系的抽象，如直線與平面平行、平面與平面垂直是關系抽象的結果；等價抽象是按某種等價關系，抽取一類對象共同性質特征的抽象.自然數概念是等價抽象的結果，其本質是某類等價集合的標記，即集合間可以建立一一對應關系，它們是“對等”的．根據抽象方向的不同，數學抽象可分為同向與逆向思維的數學抽象，悖向思維的數學抽象與審美直覺的數學抽象.所謂同向思維的數學抽象，即延續已有的思維方向思考問題，它主要包括弱抽象和類比聯想等方法；其中的弱抽象，也叫做“擴張式抽象”，是指對事物某一方面特征(或側面)加以概括，從而形成比原對象更為一般的概念或理論的一種抽象方式．如“正方體→長方體→直平行六面體→直棱柱→斜棱柱”順序進行的抽象就是弱抽象．弱抽象的特點是研究對象的外延不斷擴大，內涵不斷縮小，把結論推廣到更一般的情形；逆向思維的數學抽象.指與原思維方向反向地思考與探究問題，它主要包括強抽象、精確化與完備化的思維方法．其中的強抽象，也叫做“強化結構式抽象”，是指通過擴大研究對象的特征，從而形成比原對象更為特殊的概念或理論的一種抽象方式．如按“斜棱柱→直棱柱→直平行六面體→正四棱柱→正方體”順序進行的抽象就是強抽象．強抽象的特點是研究對象的外延不斷縮小，內涵不斷擴大，更深刻地認識事物某一方面的特征.悖向思維的數學抽象，即背離原來的認識并在直接對立的層面上探索新的發展可能性，是立體型的抽象.

2 數學抽象的教育意義

數學抽象是數學發展最基本的手段與方式，也是理性思維的主要特征之一，它貫穿于數學發生、發展和應用的各個過程之中，在數學的產生、發展與應用中起了不可替代的作用，使得數學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的體系.也正是數學抽象使人們獲得數學概念和規則，提出數學命題和模型，形成數學方法與思想，認識數學結構與體系.

在數學抽象核心素養的形成過程中，通過積累從具體到抽象的活動經驗，學生能更好地理解數學概念、數學命題、數學的方法和體系，能通過抽象、概括去認識、理解、把握事物的數學本質，能逐漸養成一般性思考問題的習慣，能在其他學科的學習中主動運用數學抽象的思維方式解決問題.因此，通過數學抽象的培養，學生可以很好地理解那些復雜的公式和定理，清楚這些公式和定理的來龍去脈，真正明白其中的含義，在更高的層面上理解數學知識的結構，更好地把握數學知識的本質屬性，養成從更一般意義和方法上思考問題的習慣，提升概括抽象能力，促進理性思維的發展與提高.在數學學習過程中，學生只有具備了良好的思維水平和數學抽象素養，才能透過現象看到本質，這對學生來說不僅僅是一個獲取知識的過程，也是一個探究發展的過程，對于學生的全面發展都有十分重要的作用和意義.

3 數學抽象的培養途徑與方法

3.1 了解數學抽象的基本過程與方法

數學抽象的基本過程與方法前人已做過許多研究，其中徐利治認為，數學研究中的抽象思維過程基本上經歷四個階段：第一階段主要研究數學現象問題；第二階段主要是對各種具體數學屬性進行分析，逐步去掉非本質屬性；第三階段，對于已經了解其結構的數學事實，確定其本質屬性或特征；第四階段，對基本上被確定的數學概念進行不斷純化.按照抽象的程度不同，史寧中把數學抽象分為簡約階段、符號階段、普適階段等三個階段，其中簡約階段主要是把握事物在數量或圖形方面的本質，把繁雜問題簡單化、條理化，并清晰地表達；符號階段主要是去掉具體內容，利用符號和關系術語，表述已經簡約化的事物；普適階段主要是通過假設和推理，建立法則、模式和模型，在一般意義上描述一類事物的特征或規律.

史寧中認為，抽象有兩個層次，一個是直觀描述，另一個是符號表達.他指出第一次抽象是有物理背景的，用自然語言表達的，這種抽象具體、直觀，容易創造，但是也容易有反例；第二次抽象的特點是符號化，符號化的特點是挑不出毛病，嚴謹，但是抽象，沒有物理背景.他建議老師在講課時也必須講第一次抽象，講具體的背景，不要遨游于一大堆抽象的符號之間，要有感性認識，要建立起直觀來，有了直觀，才能判斷.站在數學教學視角，按通常情況下學生學習時認知的先后順序，浙江李昌官把數學抽象分為感知與識別、分類與概括、想象與建構、定義與表征、系統化與結構化[1]等五個階段.事實上，數學抽象針對一個具體問題或對象，首先依據某一要素屬性、進行區分、提煉、概括，使問題或對象變得明朗、簡約和理想化，其次用數學符號進行表征，使問題或對象數學化，同時進行一般化，普適化，最后進行應用與系統化.最后，用邏輯方法建立概念之間的聯系，形成概念系統.如概念體系，公理系統，新數學系統.

了解數學抽象的基本過程與方法是引導學生開展數學抽象的必要條件.在第一次抽象中教師要引導學生通過觀察、類比、聯想和結構分析，從中區分提煉出各種屬性，并能建構出各種典型模型；在概括和普適化階段中要求教師引導學生把典型模型一般化，通過類比、歸納和聯想概括出一般化后的數學對象所具備的本質的公共的屬性，并借助式子、圖表等進行表示；在定義與符號化中，則重點要求表達準確、簡約；在系統化階段，則要根據學生的認知水平進行方向引領.

3.2 以數學概念形成教學為抓手，讓學生學會數學抽象

章建躍在《樹立課程意識落實核心素養》中提到：“眾所周知，概念教學是數學教學的重中之重，而得出數學概念的過程是最典型的數學抽象的過程”.概念是思維的“細胞”，概念組成命題，命題形成判斷，數學方法和思想是數學知識在更高層次上的抽象和概括.概念的形成過程是經歷豐富的感性認識到深刻的理性認識的轉變.在轉變的過程中，需要經過多層次的分析、比較、抽象和歸納等加工.因此，概念的形成正是高度抽象和概括的過程，對概念的理解過程正是對這種抽象概括內容的剖析過程.在教學中，教師選取學生熟悉的典型實例，提供豐富材料，讓學生經歷一個完整的概念教學流程：辨別(刺激模式)→分化(各種屬性)→類化(共同屬性)→抽象(本質屬性)→檢驗(確認)→概括(形成概念)→形式化(符號表達)，對比數學抽象的基本方法，熟悉數學抽象的“基本套路”，在概念形成的學習中學會數學抽象.從辨別到概括可視為第一次抽象，表現為用自然語言表達的直觀描述；概括到形式化，完成符號表達為第二次抽象.比如在函數周期性教學時，首先可例舉生活中大量的周期現象，如春夏秋冬四季輪回、海水漲落的潮汐、彈簧振子運動、摩天輪轉動有共同特征，經過相同時刻所考察對象可重復出現，其次例舉數學中的周期變化，如“數列an=1+(-1)n的項”、“f(x)=x-[x]圖象”、“在直角坐標系uOv中，角x的頂點與原點重合，始邊與Ou軸正半軸重合，終邊與單位圓交于點P(cosx，sinx)．當角x的終邊繞原點從Ou軸的正半軸開始，按照逆時針方向旋轉時，點P的橫坐標按照由1減少到-1，再由-1增大到1的規律連續地、周而復始地變化，縱坐標也有類似的變化規律”等，同樣有一個共同特征，經過相同時刻后考察對象可重復出現，將其特征抽象直觀描述函數經過不同的自變量值，函數值重復出現，實現第一次抽象，有了這些經驗后，用嚴密的數學語言及f(x+T)=f(x)加以表征實現第二次抽象.

3.3 鼓勵學生自主總結歸納，養成抽象概括的習慣

學生的數學抽象素養是從點點滴滴的細微處開始培養，是日積月累的潛移默化的過程.當我們上完一節課或者學習完一個章節時，教師就可引導學生對所學內容進行歸納總結.可用列表的方式歸納本章節的基礎知識是什么，知識間的前后關聯是什么，解題的思想方法是什么，解題要令是什么，也可以用畫思維導圖的方式尋找本章節知識點與數學思想方法相互間的聯系.這種概括不但是對所學數學知識的復習與鞏固，而且從中能鍛煉學生對所學知識的提煉與概括能力，進而培養學生的數學抽象素養.例如學習完圓錐曲線可引導學生總結圓錐曲線是一門用代數方法研究圓錐曲線幾何性質的一門學科，常見的較難題是求軌跡方程及與圓錐曲線有關的綜合計算問題、范圍問題、最大值最小值問題、是否存在問題、定點定值定向問題、對稱問題、求證問題，解題常用方法有定義法、弦長韋達定理聯用法、設而不求整體處理法、設參用參消參法、平面幾何法等,事實上根據題型的通法解決問題是從一般到特殊的強抽象.因此，復習課、方法總結課是培養數學抽象素養的一類重要課型.

3.4 學會聯想、推廣、變式、類比等方法，掌握數學抽象的必要方法

教師在教授立體幾何時可讓學生類比平面幾何的性質，教授等比數列時可類比等差數列，雙曲線可類比橢圓，計數原理中分類和分步的類比等等，這不僅能提高學生的學習興趣，還能給學生提供鍛煉數學抽象概括能力的機會.例如在學習扇形面積、球體體積時，用類比思想讓學生認識到圓面積公式與三角形面積公式，球體體積公式與錐體體積本質上都是分別相同的.事實上，借助極限思想，將圓周n等分，當n趨于無窮大時，每一等分可看成一個小三角形，這些三角形面積的和的極限就是圓的面積，由此可見，圓面積公式與三角形面積公式結構相同，抽象地看圓面積公式與三角形面積公式是一致的，是三角形面積公式的推廣，同理球體體積公式可抽象成錐體體積的推廣.

在教學過程中，教師可以通過一題多解，一題多變，多題一解，引導學生從不同思路、不同的視角認識問題，將同一問題抽象為不同的數學模型或經過多題一解抽象出一個模型，從中培養學生的歸納和概括的能力.例如函數教學時，可給出如下一組問題，引導學生概括.

(4)(2012年全國高中數學聯賽吉林初賽)方程2(x-1)sinπx+1=0在區間[-2,4]內所有解之和等于；

這樣的題不勝枚舉，但通過抽象概括，有一個共同規律是合理配對，對稱求和.

開展數學建模活動，引導學生根據自身所處的生活環境，選擇諸如池塘里浮萍增長問題、汽車與油耗問題、打球受傷吃藥殘留量問題、酒后何時可駕車問題、潮汐現象與輪船進港問題、摩天輪轉動等有意義的實際問題進行加工提煉，抽象成數學模型，體驗實際問題數學化過程，培養學生用數學知識解決實際問題的意識和能力.

4 引導學生進行數學抽象的一個教學案例

案例摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑游樂設施,游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉時，可以從高處俯瞰四周景色.假定摩天輪的每一個座艙都在做同一勻速圓周運動．你能用一個合適的函數模型來刻畫座艙(視為質點)距離地面的相對高度與時間的關系嗎？

分析這是一個生活實例，首先將摩天輪抽象成一個幾何圖形，把這個生活實例變成一個數學問題，用數學語言抽述，實現第一次抽象，完成數學抽象的簡約階段.假設摩天輪的中心離地面的高度為h0，半徑為r，座艙按逆時針方向以角速度ω勻速轉動，座艙的初始位置P0處出發，某游客從圖中P0經過時間ts時后到達P點，試求該游客離開地面的高度？

其次，探索上述各參數間相互關系，建立座艙P運動的數學模型，用數學語言表征，實現二次抽象，完成數學抽象的符號階段.

如圖1，以O為原點，以與地面AB平行的直線為x軸建立直角坐標系．設t=0時，座艙M位于點P0，以OP0為終邊的角為φ，經過ts后運動到點P(x，y)．于是，以OP為終邊的角為ωt+φ，并且有y=rsin(ωt+φ)．所以，座艙M距離地面的高度H與時間t的關系是H=rsin(ωt+φ)+h0．

再次，應用模型解決相關數學問題，進入數學抽象的普適階段.

應用1如圖2，設摩天輪的半徑為1(單位長度)，摩天輪按逆時針做勻速轉動，角速度為1rad/min(每分鐘轉動1弧度).假如你在摩天輪上的P點位置，若P點從圖中P1點處開始計算時間．在如圖所示的直角坐標系中，請問大家能否計算出在確定時間tmin時，你相對摩天輪中心的高度h(單位長度)．

圖1

圖2

應用2某摩天輪最高點距離地面高度為120 m，轉盤直徑為110 m，設置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要30 min．

(1)游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動tmin后距離地面的高度為Hm，求在轉動一周的過程中，H關于t的函數解析式；

(2)求游客甲在開始轉動5 min后距離地面的高度；

(3)若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h(單位：m)關于t的函數解析式，并求高度差的最大值(精確到0.1)．

0≤t≤30；

(2)游客甲距離地面的高度

(3)甲、乙兩人距離地面的高度差