基于“核心素養”的數學直觀能力培養途徑①

林新建

(福建省漳州第一中學 363000；閩南師范大學數學與統計學院 363000)

無論進行怎樣的教學，培養學生的“數學直觀”是非常重要的.本文從一道試題解法的探析入手，就其自然性的啟示闡述“數學直觀”在發展數學核心素養上的意義和途徑.

1 “自然”的啟示

例1(2010年高考全國卷理科21題)

設函數f(x)=ex-1-x-ax2.

(Ⅰ)若a=0，求f(x)的單調區間；

(Ⅱ)若當x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍.

解析本題是2010年課標全國卷理科壓軸題，試題的第(Ⅱ)問難住了眾多師生，而高考標準答案同樣也讓他們費解——這樣的解答是如何想到的呢？

這樣的解答深奧難懂，解法極不自然，就是我們老師都看不懂，我們又該如何去跟學生講應該這樣解呢？

有沒有較為自然簡潔的解法呢？若有，怎么想到的呢？

注意到這是函數問題，我們不妨從“直觀上”加以理解.

首先，“當x≥0時f(x)≥0”，直觀意義即“f(x)在(0,+∞)上的圖象位于x軸的上方”.

由于f(x)=ex-1-x-ax2，f(0)=0，f(x)的圖象過原點，所以直觀f(x)的圖象在x=0右側附近必須遞增，從而f′(x)≥0對x=0右側附近成立.

其次，因為f'(x)=ex-1-2ax，f′(0)=0，f′(x)的圖象也過原點，所以直觀f′(x)的圖象在x=0右側附近必須遞增，從而f″(x)≥0對x=0右側附近成立.

有了這個結果就好辦了！接下來我們只要證明：

一道難題，由于對“直觀意義”的挖掘，我們將解答進行得如此輕松！

2 直觀的意義：抽象推理建模的思維基礎

回顧以上探究歷程，我們不難明白問題得以解決的關鍵所在——對題目意思所作的“直觀理解”與最終結果的“直觀預測”.

通常在理解題目階段，需要對題目中的隱含條件和信息進行發掘，將抽象變具體，將隱含變清晰.而如何將“抽象變具體，將隱含變清晰”，這需要“數學直觀”地“從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構”，在這個過程中，“數學抽象素養”得到了培養和發展.

如何引領學生思考“按照怎樣的線索、用什么方法去研究問題、解決問題”，

這需要“數學直觀”地去“歸納、類比、聯想、發現”.在這個過程中，“邏輯推理素養”得到了培養和發展.

如何引領學生思考“面對一個新的研究對象，從哪些角度發現和提出值得研究的問題？”這需要“數學直觀”地去“發現模型、構建模型”.在這個過程中，“數學建模素養”得到了培養和發展.

例2(2012年高考新課標卷Ⅰ理科21題)

(Ⅰ)求f(x)的解析式及單調區間；

解析第(Ⅰ)問簡單，難在第(Ⅱ)問.

現在的問題是，如何由ex≥(a+1)x+b，求(a+1)b的最大值呢？

這是難點，似乎無從下手，還得從“直觀上”加以理解.

首先，直觀函數y=ex與y=(a+1)x+b的圖象，要使上式恒成立，必須a+1>0，從而知要使(a+1)b最大，必須b>0.

這是“從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出規律和結構”的“數學抽象”過程，所依賴的是“數學直觀——直觀理解”.

其次，直觀要使得ex≥(a+1)x+b恒成立，函數y=ex與y=(a+1)x+b的圖

象必須相切.

這是“從一些事實和命題出發，依據邏輯規則推出一個命題”的“邏輯推理”過程，所依賴的是“數學直觀——直觀判斷”.

至此，只要設出切點(x0,y0)，利用相切條件得出a、b、x0之間的關系，進而得到(a+1)b關于a、b或x0的目標函數，問題不難獲解.

這是“用數學知識與方法構建模型(函數模型)解決問題”的“數學建?！边^程，所依賴的是“數學直觀——直觀預測”.

從以上的求解過程中，我們不難明白，正是緣于“直觀理解”，我們對題目中的隱含條件和信息進行抽象，將抽象變具體，將隱含變清晰，同時借助“直觀判斷”對問題進行“邏輯推理”，借助“直觀預測”進行“數學建?！?在這個“直觀理解、直觀判斷、直觀預測”的“數學直觀”過程中，“數學抽象、邏輯推理、數學建模”等數學核心素養得到了培養和發展.

“數學直觀”是我們學會用數學的眼光觀察現實世界、學會用數學的思維思考現實世界、學會用數學的語言表達現實世界的前提，是我們進行數學抽象、邏輯推理和數學建模的思維基礎.

3 直觀的途徑：直觀引來“簡潔美”

眾所周知，“具體”中蘊含的信息具有豐富性、多樣性，觀察也可以有不同角度，因而從同一事例中可發現不同規律；同時，表面的東西大家都能看到，“藏在”背后的才有“含金量”.

所以，面對具體事例，關鍵是“你怎么看”？這是看問題的角度、高度以及切入點，需要知識的支撐，還需要歷練.

學生經常出現“不是做不到，而是想不到”的尷尬，主要是他們的閱歷還不足以使自己“想得到”.

教學中教師要在“你怎么看”上下功夫，即在如何“直觀”上下功夫，引領學生直觀問題的本質，感知問題特征，努力使他們“想得到”，將問題解答得簡潔完美.

3.1 直觀圖形內隱特征

很多題目與圖形密切相關，但圖形的特征是內隱的，不容易被發現.若能將其特征予以直觀，可以獲得簡單巧妙的解法.

例3(2013年高考新課標卷Ⅰ理科16題)

若函數f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖像關于直線x=-2對稱，則f(x)的最大值是.

解析本題按常規方法求解較為繁瑣，運算量也不小，若能直觀函數的圖形內隱特征，則可輕松將問題解決，且幾乎沒有計算量.

首先，直觀函數f(x)有兩個零點-1和1，又因為函數圖像關于直線x=-2對稱，所以感知f(x)還有兩個零點-3和-5，從而得f(x)=-(x-1)(x+1)(x+3)(x+5).

其次，直觀若將f(x)的圖像向右平移兩個單位，其最大值不會改變，于是問題轉化為求函數g(x)=-(x-3)(x-1)(x+1)(x+3)的最大值.

易知g(x)=-(x2-9)(x2-1)=-(x2-5)2+16，其最大值為16，這多簡潔！

評析由于“直觀”，我們“從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出函數具有4個零點”，同時從條件出發，“依據邏輯推出若將f(x)的圖像向右平移兩個單位，其最大值不會改變”這一命題.在這個過程中，“數學抽象、邏輯推理”等核心素養得到了發展.

3.2 直觀變量變化規律

變量的變化必然有其規律，只有直觀變化規律，方能便于我們感知，進而依據變化規律將其輕松求解.

例4(2014高考課標全國卷Ⅰ第8題)

解析本題按常規方法求解較為繁瑣，也需要耗費一定的時間，若能直觀變量α、β的變化規律，問題瞬間可解.

評析由于“直觀”，我們“從數量與數量關系中抽象出α與β的關系及β的變化規律”，同時“依據邏輯進行推理”.在這個過程中，“數學抽象、邏輯推理”等核心素養得到了發展.

3.3 直觀點線運動軌跡

點線運動有軌跡，只有直觀軌跡特征，方能便于感知，進而依據軌跡特征將問題輕松求解.

例5(2009年高考新課標卷Ⅰ理科第10題)

A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1

解析本題按常規方法求解似乎無從下手，若能直觀動點M的運動軌跡，問題可輕松獲解.

評析由于“直觀”，我們“從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出動點運動的一般規律”，并“依據邏輯規則進行推理”，將問題的求解進行得輕松自在.在這個過程中，“數學抽象、邏輯推理”核心素養得到了發展.

3.4 直觀模型結構特點

直觀模型結構特點，進而借助模型求解問題，可將問題輕松予以解決.

由于“直觀”，我們“從數量與數量關系中抽象出一般的模型和結構”，并“用數學知識與方法構建模型解決了問題”.這是一個抽象、建模、推理的過程，在這個過程中，“數學抽象、數學建模、邏輯推理”等核心素養得到了發展.

例6(2011年高考大綱全國卷第12題)

解析本題按常規方法求解異常繁瑣，若能直觀其模型結構特點，問題輕松可解.

也是由于“直觀”，我們“從數量與數量的關系中抽象出一般的模型和結構”，并“用數學知識與方法構建模型解決了問題”，在這個“抽象、建模、推理”的過程中，“數學抽象、數學建模、邏輯推理”等核心素養得到了發展.

3.5 直觀思想立意要領

對于解題，絕大部分學生不是不會方法，而是由于沒有站在思想的高度來思考和引領方法，或者是因為思想不明確而想不起來用什么方法來處理問題.因此，指導學生直觀思想立意要領，運用思想引領方法就顯得尤為重要了！

例7(2010年高考新課標卷Ⅰ理科11題)

若a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，則abc的取值范圍是( )

A．(1,10) B．(5，6)

C．(10,12) D．(20,24)

由于“直觀”，我們“從數量與數量的關系中抽象出一般規律——問題的一般性”，再立意于“特殊與一般思想”對問題“從特殊到一般、一般到特殊”地推理，在這個過程中，“數學抽象、邏輯推理”等核心素養得到了發展.

例8(2011年高考新課標卷Ⅰ理科16題)

解析本題是三角形求解問題，解決問題的通法是“知三求三”，但是直觀題目只給出一邊一角，顯然條件少了.

直觀這是最值求解問題，需要引入變量，構造出待求最值關于這個變量的函數，為此不妨設∠A=θ，則∠C=120°-θ，由正弦定理得：

從而AB+2BC=2sin(120°-θ)+4sinθ

由于“直觀”，我們“從數學的視角發現了問題(最值求解問題)，并提出問題、分析問題，構建模型(函數模型)”，再“依據邏輯規則進行推理”， 這是一個抽象、建模、推理的過程.在這個過程中，“數學抽象、數學建模、邏輯推理”等核心素養得到了發展.

4 結語：“直觀”恒久，素養終成

經驗之中有規律，是我們認識問題的一般過程和方法，也闡明了一個簡單但很深刻的教學原理：經驗是具體的，規律則是抽象的.規律不是從天而降的，而是從具體經驗中經過不斷歸納、概括才能得到的.

如何才能培養學生“從經驗中發現規律”的能力呢？

首先，要培養學生從“從一般規律的高度考察具體事例”的意識，逐步養成“透過現象看本質”的習慣.這是觀念問題，是思維習慣問題，也是思想方法問題，需要一個長期的、潛移默化的過程，需要有意識地培養.

其次，要讓學生掌握觀察事例、從經驗中歸納規律、把具體事例中得到的東西概括到全體中去的基本方法，使他們逐步學會歸納、學會抽象、學會概括，進而形成“從經驗中發現規律”的能力.

簡言之，就是培養學生“直觀”的習慣與“感知”的能力！

“直觀”是一個人長期進行數學思維形成的，是逐漸養成的一種思維習慣，這個習慣日積月累就形成了數學素養.