高考數學北京卷試題對弘揚數學文化的探索①

王雅琪 于偉東 汪燕銘

(1.北京教育考試院 100083；2. 北京交通大學附屬中學 100081；3. 北京師大二附中 100088)

“數學文化”一詞，是由美國數學家懷爾德(R.L.Wilder)于1981年在他的代表作《作為一種文化體系的數學》(Mathematics as a Culture System)中提出的，他從數學人類學的角度提出了“數學 —— 一種文化體系”的數學哲學觀．這一觀點，為研究數學的發展帶來了一個新的視角．同時，也為數學教育的研究帶來了很大影響．

越來越多的學者開始關注對“數學文化”的研究，并從定義及其內涵，發展的歷史，在數學教育中的重要作用等若干方面提出了自己的研究見解．然而，迄今為止在學術界并沒有一個對“數學文化”的統一定義．《普通高中數學課程標準(2017年版)》(下文中簡稱《課標(2017版)》)中借鑒了諸多學者的觀點，指出: “數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展；還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動．”[1]關于“課程的性質與基本理念”，《課標(2017版)》明確提出要在高中數學課程中“注重數學文化的滲透，強調數學與生活以及其他學科的聯系”，并在“高考命題建議的命題原則”章節中，強調了考查內容要“融入數學文化”．

“數學文化中體現出來的人文價值和科學價值，在培養學生數學素養的教育中扮演著重要角色，也是高考試題的重要考查內容．”[2]基于對 “數學文化是在人類生活、科學技術、社會發展中與理性思維有關的精神活動及其產品”的認識，高考數學北京卷一直進行著有益的命題探索與實踐工作．積極努力地探索如何將“數學文化”的考查要素落實于試題中，落實于體現數學學科的核心素養里．在命題設計中，致力于將數學知識與數學學科的核心素養有機結合，通過編制的試題，引導學生“會用數學的眼光觀察世界；會用數學的思維思考世界；會用數學的語言表達世界．”

高考數學北京卷力爭把數學文化中的理性精神和勇于克服困難的科學態度考出來，把數學文化中嚴謹的分析問題解決問題的思維方法考出來．在素材選取上既關注中國古代數學，提煉文化精髓，弘揚傳統文化，也兼顧近現代中外數學文化的發展，在對素材的總結提煉過程中充分發掘其中理性思維的成分．

1 融于人類生活，用理性思維指導日常活動

“數學源于實際生活， 隨著科學研究的發展和進步，數學概念與方法空前廣泛地滲透到數學之外的其他學科領域和我們的生活．”[3]運用數學的思維，通過數學的語言來解決實際的問題，考查學生將數學應用于實際問題的分析和處理能力是數學文化考查的一個重點．要求學生具有一定的建模意識，能夠從真實的場景中將數學模型提煉出來，然后應用對應的數學規律刻畫有關量之間的關系，進而完成問題解決．高考數學北京卷歷來注重對學生數學建模意識的考查．

例1 2019年高考數學北京卷文理科第14題

李明自主創業，在網上經營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網上支付成功后，李明會得到支付款的80%．

① 當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；

② 在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為________．

本題以大學生自主創業為背景，需要學生建立相應的數學模型來解決這個實際問題．通過運用歸納、分析、推理的方法理解題意，從中提煉出數學模型，在模型分析的過程中，形成建模意識、發展理性思維．

數學語言是數學文化的重要組成部分，對數學語言的正確理解是學習數學文化的重要途徑，學生需要具備通過閱讀數學文本理解提煉數學模型的能力．數學文本的表達形式經常包含圖表、圖像等，這種文本被稱為非連續文本，對于非連續文本的閱讀理解需要學生把圖表轉化為有用信息、對信息進行再加工、從所獲取的信息中提煉出數學模型，再應用所掌握的數學知識解決問題．高考數學北京卷在關注非連續性文本閱讀能力的考查上，做了一些探索工作．希望可以讓學生體會提取加工的過程，即在非連續文本中提煉有效信息，排除干擾，確定已知和未知，找到它們之間的聯系，選擇解決問題的途徑．

例2 2017年高考數學北京卷理科第14題

三名工人加工同一種零件，他們在一天中的工作情況如圖所示，其中點Ai的橫、縱坐標分別為第i名工人上午的工作時間和加工的零件數，點Bi的橫、縱坐標分別為第i名工人下午的工作時間和加工的零件數，i=1,2,3.

①記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數，則Q1，Q2，Q3中最大的是________；

②記pi為第i名工人在這一天中平均每小時加工，則p1,p2,p3中最大的是________．

本題以工人加工零件為背景，條件以坐標的形式給出，學生需要從坐標中讀懂零件加工時間和件數的相關信息，在解決第一個問題時要理解縱坐標表達的含義，找到Qi的直觀表示，在解決第二問時要發現斜率與pi的關系，既要完成信息的有效處理，還要利用圖表直觀地找到解決問題的方法．

2 奠基科學技術，用理性能力厚植科研地基

數學科學是自然科學、技術科學等科學的基礎，并在經濟科學、社會科學、人文科學的發展中發揮著越來越大的作用．李大潛教授指出：“數學是一個有力的工具．數學在人們的日常生活及生產中隨時隨地發揮著重要的作用．”高考數學北京卷在試題的設計中，注重背景素材和數學學科恰當的結合，比如2019年高考數學北京卷選擇了“星等”為命題的切入點，不僅找到了星等與數學的聯系，更是找到了天文學中數學的核心價值．

例3 2019年高考數學北京卷文科第7題，理科第6題

(A)1010.1(B)10.1

(C)lg10.1 (D)10-10.1

本題以天文學中如何刻畫天體的明暗程度為背景來設計，簡單明了的普森公式精確地刻畫了星等與亮度的關系，關系式融合了數學知識、地理知識和物理知識，充分體現了數學是研究空間形式和數量關系的科學，是刻畫自然規律和社會規律的科學語言和有效工具．

3 助力社會發展，用理性精神規劃未來藍圖

數學文化試題的設計要找到背景素材和數學學科恰當的結合點，把人類優秀文化的符號提煉出來并深入研究，使學生通過推理和運算，對文化本身有更深入甚至是全新的理解，同時感受數學對推動人類發展所起的巨大作用，這是高考數學北京卷一直秉承的命題立意和導向．設計試題時，在深入了解試題背景材料所蘊含的傳統文化的前提下，力求在試題呈現和能力考查上突出體現數學文化的核心．考查的重點是數學的必備知識、關鍵能力和學科素養，引導學生從數學的角度認識文化，思考文化中蘊含的數學問題，感悟文化中的理性精神，以及與數學相關的人文活動．

例4 2018年高考數學北京卷理科第4題，文科第5題

十二平均律是目前世界上最通用的音律體系，其歷史非常悠久，最早可以追溯到公元400年左右的中國人承天．公元16世紀的明朝人朱載堉將十二平均律發展為完整的理論．律學專家黃翔鵬先生對十二平均律有高度評價，因為它不只是音樂聲學的成果，還涵蓋了物理學、數學、計量學、天文學等多學科的內容，是中國樂律學博大精深的成果．朱載堉應用自制的雙排大算盤共八十一檔，開平方、開立方求出十二平均律的參數，詳盡程度超過我國古代的數學專著．朱載堉的成就不遜于中國歷史上任何科學家，歐洲人盛贊并實踐著朱載堉的發明．在高考試題中引入這個中國傳統文化因素，意在引發學生的思考，增加愛國主義情感，同時也使學生體會到數學在各種領域的廣泛應用．如前文所述，數學文化試題要深入“文化”本身，考點的設置要觸及文化核心的內容；希望學生通過數學的運算或者推理，對文化本身有更深入甚至是全新的理解．臺灣學者陳萬鼐高度評價朱載堉，認為他的精確和耐心勝于自古以來的數學家．這也是理性精神的一個呈現方面．

數學的學習不僅是掌握知識的過程，更重要的是學生思維習慣的培養和探索意識的形成．探索精神也是理性精神的要素之一．在試題中可以通過設置開放性試題、探究性試題等來進行相應的考查．

例5 2019年高考數學北京卷理科第12題，文科第13題

已知l,m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：

①l⊥m； ②m//α； ③l⊥α．

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：________．

這是一道開放性問題，考查的是線、面平行或垂直的性質與判定. 要求學生能夠根據經驗將題目給出的三個論斷有機組合，并判斷形成命題的真、假．學生需要讀懂數學的語言和符號，從不同的角度認識問題．開放性試題的設計為學生創設了一個探索的條件，同時讓數學的張力得以體現．學生在解決這類非常規和結構不良問題時，需要打破常規進行發散性思考．讓學生從標準答案中解放出來，發展他們的創造性思維能力．

結束語

高考作為教育的一個必要環節， 要通過試題的考查達到育人、化人的教育功能．數學文化試題的設計充分挖掘數學文化的精髓，讓學生在解決問題的過程中，潛移默化地接受試題背后的文化滲透，引導學生體會數學的理性精神、數學的思想方法以及數學在日常生活的廣泛應用等．

在人類生活、科學技術、社會發展中，可以挖掘的數學文化的要素還有很多，北京卷將繼續努力探索，呈現更多優秀的題目引領學生體會數學的魅力．