常微分方程在數學建模中的應用之戰爭模型

高瑜 高藝 王偉

本文詳細介紹了以微分方程為基礎的正規戰爭、游擊戰爭、混合戰爭等三種戰爭模型的建立，求解，得出三種戰爭的勝負與初始兵力的關系。

1 引言

微分方程作為數學學科的一個中心學科，經過三百余年的不斷發展，不論在求解方法上還是在定性理論分析方面日臻完善，使得微分方程模型具有極大的普遍性、有效性與非常豐富的數學內涵。在高等數學教學中，常微分方程也在不斷的被研究與探索，并且融入數學建模思想提高學生的學習興趣，在現實世界中，能夠通過建立微分方程模型研究的實際問題非常之多。如物理學中的振動現象、化學中物質間反應的酶促作用、生態學中單種群的增長模型、多種群間相互作用的數學模型、經濟學中研究經濟規律的動態模型、艾滋病防治的數學模型、傳染病模型與戰爭模型。本文以戰爭模型為例做簡要研究。

第一次世界大戰Lanchester提出預測戰役結局的模型，戰爭分為正規戰爭，游擊戰爭，混合戰爭三種類型。為了便于分析，本文只考慮雙方兵力多少和戰斗力強弱，并假設兵力因戰斗及非戰斗減員而減少，因增援而增加，戰斗力與射擊次數及命中率有關。

2 模型分析

設一場戰爭中有甲乙兩方部隊。甲方的兵力為（初始兵力），增援率為，乙方兵力為（初始兵力），增援率為。假設每方戰斗減員率取決于雙方的兵力和戰斗力，且每方非戰斗減員率與本方兵力成正比。即有

（1）

其中取決于戰爭類型。下面具體分析三種：

2.3混合戰爭模型

假設甲方為游擊部隊，乙方為正規部隊，則，（為乙方每個士兵的殺傷率），，（為射擊率，為命中率），（為甲方活動面積，為乙方的射擊有效面積），，假設沒有增援，忽略非戰斗減員，則

（5）

由方程（5）可得：，代入初值得：。此方程為拋物線，如下圖：

若可得：當時，乙方勝利。同理時，甲方勝利，時平局。

3 小結

常微分方程在數學建模中有廣泛應用，本文對戰爭模型作了簡單研究，得到三種戰爭模型的特點，模型沒有研究兵力的自身減員和自然因素，還可以做進一步研究。數學建模是為了解決生活中的實際問題，常微分方程的出現，讓很多模型的到行之有效的解法，從而解決了很多問題，也使得數學研究從理論轉向實踐。

基金項目：陜西鐵路工程職業技術學院教改基金（17GY021）， 陜西省教育廳科學研究項目（17JK0170）。

（作者單位：陜西鐵路工程職業技術學院）