基于結構化的課時整合教學
——以“植樹問題”教學為例

夏向陽 陸剛偉

一、教材解讀

人教版《數學》五年級上冊第七單元安排了《數學廣角》——植樹問題，植樹問題通常是指沿著一定的路線植樹，這條路線的總長度平均分成若干段（間隔），然后討論、揭示段數（間隔數）和植樹的棵數之間的緊密關系。在現實生活中類似這樣的植樹問題還有很多，比如公路兩旁安裝路燈、花壇周圍擺花、鋸木頭、架設電線桿等都屬于這個范疇。本單元的具體教學內容安排四課時進行教學。

基于以上對教材意圖的分析和比較，筆者認為將在一條線段上植樹的三種情形（兩端都要種、只種一端、兩端都不種）和在封閉曲線上的植樹問題分別獨立展開教學，雖然可以更好地幫助學生理解不同的植樹情形，建構植樹問題的各種原始模型。但是，獨立教學帶來的明顯弊端是割裂了不同植樹情形的內在聯系，缺乏從整體、全面的意識去建立完善的認知結構。因為，數學是一門系統、融合而富有嚴密邏輯結構的學科。完整的認知結構不僅有利于后續知識的形成和建立，同時能從整體的視角去解決實際問題，提高解決問題的綜合能力。

二、教學實踐

1.創設開放情境。

師：同學們在全長20 米的小路一邊種樹，每隔5 米種一棵，一共要種多少棵樹？

生1：20÷5+1=5（棵）。

生2: 20÷5=4（棵）。

生3：我覺得上面兩種都有可能。

……

【設計意圖：植樹問題的導入方式教師往往考慮的是學生更快地理解題意，直指解答。呈現的學習情境是確定性的（題目中就注明兩端都種、只種一端、兩端都不種）。其實，這樣的導入方式容易束縛學生的思維，限制學生的想象，沒有留給學生足夠的思考空間和余地。物理學家阿基米德說：“給我一個支點，我可以撬動整個地球?！币虼?，在出示教學情境或學習材料時，應更多地體現開放性，賦予學生敢于自主探究、多元解答的機會，真正把學為中心落到實處。從課堂的實際教學反饋來看，這樣的設計完全符合學生的認知基礎和認知經驗，學生有能力得出合理的問題解決?！?/p>

2.建立數學模型。

師：請20÷5+1=5（棵）這個算式的同學詳細介紹你的思考過程。

生：我是這樣考慮的，畫一幅圖進行表示，種一棵樹隔5 米，再種一棵樹隔5 米，一共要種5 棵。

師：結合20÷5+1=5（棵）這個算式，你能說一說你是怎么理解的嗎？

生：小路一共20 米，每5 米一段，正好有這樣的4 段，而4 段就可以種5 棵，從圖上可以一目了然地看出。

師：段數我們在數學上也可叫做“間隔數”。

師：除了從圖上數出間隔數和棵樹之外，還有沒有其他方法也能知曉間隔數和棵樹。

生：我們也可以這樣理解，種一棵樹隔一個間隔，再種一棵樹隔一個間隔，最后還多出一棵樹。

師：你的想法真好，在數學上這種方法稱為“一一對應”，運用“一一對應”的方法可以使間隔數和棵數之間的關系更明了。

師：20÷5=4（棵）這種想法的同學又是怎么理解的呢？

生：我是這樣想的。假設最左邊正好有一幢建筑物（比如房子等），那么用圖表示是這樣的：

師：這種情況，同學們覺得可能嗎？

生：從圖上我們就可以清楚地看出，段數和棵數是相同的。20÷5=4（段），間隔數有4 個，也就是種4棵樹。

生：我們也可以用“一一對應”的方法來理解，一個間隔數對應一棵，再一個間隔數對應一棵，間隔數和棵數正好相等。

師：這位同學很會思考，運用“一一對應”的方法清晰地得出間隔數和棵數之間的關系。

生：老師，我突然覺得種3 棵數也是完全可能的。我是這樣想的，既然最左邊是一幢建筑物（房子等），那么最右邊也有可能是一幢建筑物（房子等）。我用這樣的一幅圖進行表示：

生：我們也可以用“一一對應”的方法解釋，一個間隔對應一棵樹，最后還多出一個間隔。

師：我們的同學很會思考，很有想法，這是學好數學的關鍵。

師：通過剛才種樹這樣的一個情境，我們找到三種不同的結果。下面，你能把植樹問題的各種情形進行整理嗎？

生：兩端都種——棵樹=間隔數+1；一端種一端不種——棵樹=間隔數；兩端都不種——棵樹=間隔數-1。

生：一端種一端不種，我們可以說成“只種一端”；“只種一端”就表示了一端種一端不種。

師：同學們的想法很好，“只種一端”更加簡潔明了。

生：我們可以把兩端都種、只種一端、兩端都不種聯系起來。

兩端都種——棵樹=間隔數+1；

只種一端——只要在棵樹=間隔數+1 的基礎上再-1，這樣就得到了棵樹=間隔數+1-1，也就是棵樹=間隔數；

兩端都不種也只要在棵樹=間隔數的基礎上再-1，也就是棵樹=間隔數-1。

師：這位同學的整理很有想法，他把植樹問題的三種情形進行了溝通和聯系，這樣便于我們理解。

【設計意圖：為了掌握植樹問題的三種不同情形，教材分別用例1、例2、例3 三個獨立的例題展開教學，旨在讓學生建立植樹問題的三種不同模型。從教學成效來看，學生面對實際的問題時，通常只是停留在三種不同植樹模型的表層，對其本質和內涵還沒有真正建構。因此，如何讓學生對植樹問題的三種情形建立牢固的認知結構，是本節課的教學重點之一。當學生形成植樹問題的三種情形時，教學沒有戛然而止，而是及時讓學生進行自主整理，打通三者之間的內在聯系，提煉出完善的知識結構。同時，本節課另一個教學重點是讓學生感悟重要的數學思想方法。教學時，筆者從實際問題入手，引導學生在解決問題的分析、思考過程中逐步發現隱含于不同的情形中的規律，經歷抽取出數學模型的過程，體驗數學思想方法在解決實際問題中的作用。本教學環節中，在無痕的教學過程中滲透了“一一對應、數形結合”等數學思想，激發學生對數學的好奇心和求知欲，體會學習數學的價值?！?/p>

3.靈活解決問題。

師：同學們，剛才通過觀察、猜測、推理、驗證等活動，我們學會了植樹問題的三種不同狀況，下面請同學們利用植樹問題的本領來解決實際生活中的問題。

第1 小題：5 路公共汽車行駛路線全長12km，相鄰兩站之間的路程都是1km。一共設有多少個車站？

生：我覺得這個問題相當于植樹問題中的“兩端都種”，設立的車站相當于棵樹，12÷1=12（個），12 個相當于間隔數。所以，用算式來表示是12÷1=12（個），12+1=13（個）車站。

師：這位同學很有數學眼光，敏銳地捕捉到設立車站和植樹問題的緊密聯系，從而進行合理解答。

請看第2 題：大象館和猴山相距60m。綠化隊要在兩館間的小路兩旁栽樹，相鄰兩棵樹之間的距離是3m。一共要栽多少棵樹？

生：我覺得這個問題相當于植樹問題中的“兩端都不種”，所以算式可以這樣表示：60÷3=20（個），20-1=19（棵）。

生：我還有補充，應該還要加一步，19×2=38（棵），因為這道題目是小路兩旁栽樹，而不是只在一旁種栽。

師：你看得真仔細。請看第3 題：

一根木頭長10m，要把它平均分成5 段。每鋸下一段需要8 分鐘。鋸完一共要花多少分鐘？

生：我覺得這個問題相當于植樹問題中的“兩端都不種”，鋸的次數相當于植樹問題中的棵樹。所以，用算式可以這樣表示：5-1=4（次），8×4=32（分鐘）。

師：同學們真是火眼金睛，很快就能把問題看清楚。請看第4 小題：

張伯伯準備在圓形池塘周圍栽樹。池塘的周長是120m，如果每隔10m 栽一棵，一共要栽多少棵樹？

生：我覺得這個問題相當于“只種一端”，我們只要把圓形拉成線段就可以了。

所以算式為：120÷10=12（個），也就是要種12棵樹。

師：把圓形轉化成線段，像這樣的方法叫什么？以前我們在學習哪些知識時也曾經運用過？

生：這樣的方法叫“轉化”思想。我們在學習平行四邊形面積計算的時候，就把平行四邊形運用平移等轉化成長方形。

生：我們在學習小數除法時，也是運用商不變規律把小數除法轉化成整數除法后再進行計算。

【設計意圖：掌握了植樹問題的三種不同模型，并不代表會進行靈活運用和解決問題，特別是學生對三種情形容易出現混淆。如何讓學生能夠運用所學知識解決實際問題，需要教師有充分的認識。本環節的四道習題在選擇的時候可謂獨具匠心。第1 小題、第3 小題主要是讓學生對植樹問題的模型進行解析，把抽象的植樹模型和具體的實際情境有機溝通起來，以此培養學生解決問題的應用意識。第2 小題是根據學生的最近發展區進行適度變式，讓學生學會具體問題具體解答。第4 小題盡管是在圓形上種樹，和在線段上種樹具有明顯的區別。可是，通過把圓形拉直成線段，就和“只種一端”的本質相同，用“轉化”的思想把圓形上種樹納入“只種一端”的知識體系中，充實了植樹問題的內涵。】

師：同學們，今天這節課我們主要學習了“植樹問題”，你還想提出哪些問題呢？

生：我們學會了在線段上、圓形上植樹。那么，如果在三角形邊上植樹又是怎樣的情形?

生：如果在長方形、正方形邊上種樹又是怎樣的情形？

生：在線段上種樹的間隔就是距離，而為什么在圓上種樹的間隔不是距離，是弧線的長度呢？

……

師：同學們提出的問題很合理、有挑戰性，也很有研究、探討價值，有時提出一個問題往往比解決問題更重要，希望同學們在學習數學的同時，也要積極、主動地提出一些合理的數學問題。

【設計意圖：《數學課程標準》（2011 版）明確提出：運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力，提高分析和解決問題的能力。把發現和提出問題擺到了和分析、解決問題同等的重要地位。在課即將結束時，筆者讓學生結合今天的學習內容，提出一些問題，不斷積累的問題意識是學生創新精神的種子，可以為培養創新型人才奠定扎實的基礎?！?/p>