還應毫末長始見拂丹霄
——以《可能性》教學為例淺談學科育人

劉 松（特級教師）

高中階段基于核心素養的新課程標準正式頒布后，當下，國家正在組織修訂義務教育階段的課程標準修訂。前不久收到一份義務教育階段數學課程標準修訂的調查問卷，在組織教師參與調查時，一些年輕教師對該問卷調查第一部分——方向性中的部分問題提出了疑惑，感覺數學教育似乎與這些問題無關。部分試題如下：

乍一看該問卷，筆者也感覺有些突兀，但轉念一想，瞬間就釋然了。估計此類問卷調查不僅僅是針對數學學科的，義務教育階段所有學科的課程標準都在修訂，而教育首先要回答的是培養什么人的問題，所以，上述這些問題放在這里自然也合情合理。事實上，該問卷從第二項開始，就聚焦學科內部問題了。

年輕教師的疑惑，讓筆者意識到，有必要對數學學科的育人價值做一些探討。那么，數學學科的育人價值究竟何在？真的與上述問題毫無關系嗎？

至此，筆者想起了哈佛大學“零點項目”的創始人之一戴維·珀金斯在其暢銷專著《為未知而教，為未來而學》中，針對什么才是有價值的學習展開了詳盡的論述，觀點指向有生活價值的知識才值得學習。其在前言中提到：我們教授了許多沒有學習價值的內容，更忽略了大量極有價值的知識……對其書中提到的許多觀點，筆者都非常贊同。但對其書中第7頁提到的沒有什么生活價值的“二次方程”的觀點，筆者并不完全認同。

作者曾在世界各地對不同的人群提出過下面的問題：

問題一：在座的各位有多少人在進入大學之前學習過二次方程？（此時，幾乎所有人都會舉手。你呢？）

問題二：過去10年內，有多少人使用過二次方程？（此時，可能只有5%～10%的人舉手。你呢？）

問題三：過去10年內，有多少人在學校以外的地方使用過二次方程？如果你是在教育機構內使用二次方程，那么，請不要舉手。（現在，僅有兩三個人還在舉手。你仍然舉著手嗎？）

估計這三個問題，如果大家拿去詢問周圍的人，也會得到和作者同樣的結論。筆者現工作單位內一位非常優秀的德育教研員，其女兒今年面臨中考，偏文科，數學稍弱。在一次學術沙龍中，親口對筆者說：“劉特，你們數學那么難學，孩子學得好辛苦，但生活中卻幾乎用不到，一點用也沒有。”對此，筆者只能無奈地搖頭，不由得心中慨嘆，如此美妙的數學，為何卻經常遭到大家的誤解！關于數學的美，德國的數學家克萊因有過這樣的描述：“音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可以改善物質生活，但數學卻能提供以上一切。”

如此美妙和有用的數學，為什么許多人感受不到呢？真如戴維·珀金斯所言，許多類似的“二次方程”的數學知識是沒用的嗎？

如果細細閱讀戴維·珀金斯的專著，會發現其實作者本人并沒有否認數學學習的意義和價值，其在書中明確把基本的讀寫能力和計算能力及具體的專業知識排除在外。更在第8 頁中寫到：從內心說，對二次方程，我并沒有任何個人偏見，事實上，我很喜歡二次方程以及各種類型的數學知識。我獲得的所有學術學位都與數學有關，即使后來換了專業，涉足認知心理學、學習理論和教育學之后，仍然如此。作者強調的只是類似二次方程的知識沒有生活價值而已。

果真如此嗎？這里面至少有三個問題值得深入探討。一是二次方程真的沒有生活價值嗎？二是沒有生活價值就完全沒有必要學習嗎？三是數學學習的真正意義和價值是什么？

先說第一個問題。其實筆者一開始也是認同作者的觀點的，但作為數學教師心里又很不甘心低頭，于是就努力去尋找書中的邏輯漏洞，似乎發現了一處。當作者問：從小學到高中，你學過的哪些知識在今天的生活中仍然有用？（書中第6 頁）關于學習的智慧，作者記述了如下一段文字。

有人提到了“法國大革命”，這可以算是最讓我意外的答案了，因為我的學生們在學習法國大革命的歷史時，幾乎沒有什么可圈可點的表現。但這個人卻評論道：“通過了解法國大革命，我理解了各種世界爭端的普遍規律，例如，缺少自由、貧窮、賦稅過重、經濟疲軟、宗教與世俗政權斗爭或社會不公等因素是如何成為戰爭導火索的。”顯然，對于學習者而言，法國大革命不僅僅只是一堆繁雜的事實，更提供了一種看待事物的透鏡，由此，他能夠理解發生在世界各地的爭端和沖突。所以，對他來說，這樣的學習肯定是具有生活價值的。

顯然，作者認為學習法國大革命是具有生活價值的，那么，我們可以仿照前面對二次方程的方式作出追問：

問題一：在座的各位有多少人在進入大學之前學習過法國大革命？

問題二：過去10年內，有多少人遇到過或使用過法國大革命？

問題三：過去10年內，有多少人在學校以外的地方見到過或是使用過法國大革命？如果你是在教育領域見過法國大革命，那么，請不要舉手。

估計三個問題的答案與二次方程的答案基本一致。如果是一致的，憑什么說學習法國大革命是具有生活價值的，而學習二次方程就沒有生活價值呢？其實，從作者的表述中可以看出，之所以說學習法國大革命是具有生活價值的，并不是說法國大革命本身具有生活價值，而是指通過學習法國大革命，學生學會的分析問題、看待問題的思維方式與角度等，在以后的日常生活中可以用到。既然如此，學習二次方程，其實也有同樣的功效，同樣也可以促進學生思維方式與思維角度的轉變。比如，且不說二次方程是現實生活中具體問題的抽象模型，單從二次方程的解法角度而言，可以因式分解法、配方法、公式法等，難道不是讓學生體會解決問題可以策略多樣化嗎？而解決問題策略多樣化，在現實生活中豈不是幾乎隨時可以用到，那么憑什么說二次方程就沒有生活價值了呢？

當然，筆者可能是誤解或沒讀懂作者的意思，才有了上述不同觀點，準備把書再找來好好讀一讀。

再說第二個問題，沒有生活價值就完全沒有必要學習嗎？筆者一貫的觀點是，從課程建設的角度而言，當然要盡可能使學生學習的內容具有生活價值，且越多越好！但問題是，這可能不是教育的全部。著名哲學家雅斯貝爾斯說：“教育的本質意味著，一棵樹搖動一棵樹、一朵云推動一朵云、一個靈魂喚醒一個靈魂。”從這句話中，我們是否可以感覺到，教育除了實用的價值外，還應該有精神層面的內涵。如果這個感覺是對的，繼續追問：精神層面的教育價值何在？或者說完美心靈塑造的價值又何在？終究不還是為了讓每個鮮活的個體在有限的生命旅途中生活得更高尚、更豐富、更美好、更有意義嗎？所以，這里就又牽涉到如何界定生活價值內涵的問題。

現在我們來重點回答第三個問題，數學學習的真正意義和價值究竟是什么？該問題的回答，若寫一部鴻篇巨著來論述，估計也不為過。限于篇幅，本文只做簡單、粗淺的回答。首先可以肯定的是，不可以簡單地用在生活中有沒有直接用到數學知識來判斷數學學習的意義和價值（其實，數學是無處不在的，其用處之廣，可謂無所不及）。數學學科的育人價值更多地體現在對學生內在的思維方式、品質的訓練和塑造層面，這種思維區別于其他學科的思維，特別注重思維的清晰性、全面性、合理性、深刻性、靈活性、嚴密性、批判性、創造性……這是一個健全的公民必備的理性精神。筆者非常贊同特級教師張齊華先生在本刊2019年1-2 期合刊的卷首語中的觀點：數學不是加減乘除的簡單計算，也不是知識與技能的簡單疊加，數學能夠留給我們最寶貴的財富，就是用理性的思維之光，斬斷錯誤直覺可能帶來的認知偏見，從而引導學生通過紛繁復雜的表象，用數學的思維方式方法直抵事物的本質與內核，實現對真正世界的洞察與領悟。說得簡單一些，數學學科的育人價值就是人之理性精神的塑造，這或許才是數學學科全部的文化價值所在。

如果我們上述的觀點是正確的，新的問題又來了，怎樣才能很好地落實數學學科的育人價值呢？其實，這才是我們一線教師真正該關心的問題。顯而易見的是，羅馬不是一天建成的，數學學科的育人價值也不可能是一蹴而就的，一定是扎扎實實地體現在日常每一節課中的。換句話說，離開了日常每一節課對學生思維品質的有效訓練和培養，僅僅奢望著通過一些專門的所謂思維訓練課或拓展類課程，是不可能完全落實數學學科的育人價值的。當然，我們也不否認上述課程具有一定的意義和價值，但我們堅守，數學之于學生的思維品質的發展訓練，更多的還是在日常的基礎性課程中。

行文至此，又想起了戴維·珀金斯先生，其在書中53 頁寫到：研究表明，概率論的基本原理是判斷“風險”的根本依據，但很多人并沒有理解它，這一點導致人們經常做出危險的選擇。相應的，對“風險”這個主題的全局性理解提供了關于風險如何發揮作用、人們如何應對它（有時明智、有時愚蠢）的信息；由此產生了一些行動的準則以及道德倫理方面的啟示。顯然，作者是非常肯定概率統計相關數學知識是有生活價值的。但筆者以為，概率統計相關數學知識的教學意義不僅僅是生活價值，還有數學學科的育人價值。

如何理解并落實統計與概率的育人價值，以《可能性》一課為例，鮑善軍和陳蕓蕓兩位教師分別做了不同但都非常成功的嘗試。

作為一名區教研員，顯然鮑老師在課前思考中的認識是非常深刻且到位的，但筆者特別欣賞的不僅僅是他的認知，還有他在課堂實踐中四個問題的追問（1.同樣的數據為什么推測出不同的結論？2.不同的數據為什么推測出同樣的結論？3.同樣的數量結構為什么摸到的結果不一樣？4.不同的數量結構有可能摸到同樣的結果嗎？），充分讓學生在感悟可能性的同時，體會到了數學的思辨性，而這種思辨性，恰恰就是數學的理性精神所在。

通過師生間的深度對話，在反復的思辨中，學生不斷感悟數據的價值和特點，體會到“數據既有規律性，也有隨機性。要相信數據，又不能全信。沒有數據，很多事情會變得盲目；但過分依賴數據，有時也會讓我們的判斷產生偏差。”如此教學，學生自然就學會了辯證地看待數據，所謂數據分析觀念就水到渠成。試想，經受過如此思辨性學習的學生，日后在生活中再遇到概率問題時，其對“風險”的判斷是否就會理性得多。

充分體現數學的思辨性，年輕的陳蕓蕓老師亦有精彩的嘗試。陳老師教學本課的最大優點體現在對Scratch 程序的運用上，讓學生充分地體驗到，實際摸球時，每一次摸到的球都是隨機的，與事先的預測情況不一定一致，似乎無規律而言，但當摸球次數足夠多時，摸到的球又神奇地呈現出規律性，這同樣也是理性的思辨。

數學學科育人，育的是理性之人。理性與感性，恰如鳥之兩翼、車之雙輪，都是健全公民不可或缺的核心素養。所以，開篇中提到的課標修訂的問卷調查內容，自然不可能與數學無關。唐朝詩人張喬在其詩作《興善寺貝多樹》中寫道：還應毫末長，始見拂丹霄。對數學學科育人價值的終極追求，應該像一棵大樹的生長一樣，需要從萌芽開始長起，才能觸碰到紅色的云霞。我們堅信，數學的理性光輝，就萌芽在日常的每一節課中，只要教師想清楚、講明白、做到位，久而久之，日積月累，學生自然會生長出理性的“丹霄”。