親近數(shù)據(jù)感悟隨機(jī)
——《可能性》教學(xué)實(shí)踐與思考（一）

鮑善軍

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版五年級上冊第四單元。

【課前慎思】

21世紀(jì)以來，“統(tǒng)計(jì)與概率”單獨(dú)作為一個學(xué)習(xí)領(lǐng)域進(jìn)入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，這是一次具有深遠(yuǎn)意義的里程碑式改革。尤其是新課標(biāo)的重新修訂，新教材對“可能性”教學(xué)進(jìn)行了大幅度的調(diào)整。如何重新認(rèn)識小學(xué)階段“可能性”教學(xué)的意義和價(jià)值？又如何在具體的教學(xué)活動中加以體現(xiàn)？有必要作一些思考與實(shí)踐。

“通過實(shí)例感受簡單的隨機(jī)現(xiàn)象，能列出簡單隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能發(fā)生的結(jié)果；通過試驗(yàn)、游戲等活動感受隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果發(fā)生的可能性是有大小的，能對一些簡單隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小作出定性描述。”從以上表述中，我們至少可以這樣理解：一是明確所涉及的隨機(jī)事件僅限于簡單隨機(jī)事件，即所有可能發(fā)生的結(jié)果是有限的，且每個結(jié)果發(fā)生的可能性是相同的；二是只要求對可能性的大小作出定性描述，而不是進(jìn)行定量表達(dá)。

如何通過“試驗(yàn)、游戲等活動”感受可能性的大小？雖然隨機(jī)事件的發(fā)生不可預(yù)知，但存有一定的規(guī)律性，通過大量的重復(fù)試驗(yàn)收集到足夠的數(shù)據(jù)信息后，可以借助數(shù)據(jù)分析可能性的大小，而不是急于從定義和假設(shè)出發(fā)進(jìn)行概率的計(jì)算。就數(shù)學(xué)思維而言，“可能性”關(guān)注的是現(xiàn)實(shí)世界中的隨機(jī)事件，隨機(jī)思維與確定性思維迥然有異。統(tǒng)計(jì)的核心是數(shù)據(jù)分析。因而，小學(xué)階段“可能性”的價(jià)值就在于通過感受隨機(jī)現(xiàn)象培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念。這與“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的總體課程目標(biāo)是完全一致的。

美國華盛頓兒童博物館的墻上有這樣一句格言：我聽見了就忘記了，我看見了就記住了，我做過了就理解了。體驗(yàn)了，方才知其所以然。可能性這部分內(nèi)容看似簡單，卻是學(xué)生第一次接觸簡單的隨機(jī)現(xiàn)象。為此，教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在豐富的活動體驗(yàn)中感受隨機(jī)性，在數(shù)據(jù)思辨中感悟“可能性”，學(xué)會從數(shù)據(jù)的角度看待可能性大小，知道有些事情需要通過調(diào)查去估計(jì)或推斷，養(yǎng)成用數(shù)據(jù)分析問題的習(xí)慣，從而體會相應(yīng)的思維方式，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

【課中深思】

一、創(chuàng)設(shè)情境，實(shí)施任務(wù)驅(qū)動

師：（出示黑色布袋）袋子里裝有若干個紅、黃兩種顏色的球（除顏色外其他都相同），你有什么辦法知道兩種顏色的球各有多少個？

生：把袋子里的球全部倒出來數(shù)一數(shù)就知道了。

師：這個辦法很好，不過技術(shù)含量太低了。現(xiàn)在規(guī)定不能倒出來看，也不能直接打開袋子數(shù)。

生：我想知道袋子里紅、黃球一共有多少個？

師：一共有5 個。

生：可能是5 個紅球，或者5個黃球，也可能是4 紅1 黃、3 紅2 黃、2 紅3 黃、1 紅4 黃。

師：你列舉了所有可能的情況。那么，袋子里的球會是其中的哪一種呢？生：3 紅2 黃。師：確定嗎？生：不確定。師：為什么？

生：因?yàn)槲沂莵y猜的。

師：如果不亂猜，你們有什么好辦法嗎？

生：摸一次放回去，再摸一次又放回去，這樣可以嗎？

師：這個辦法可行，每摸完一次放回去，搖一搖后再摸。那么，你準(zhǔn)備摸幾次？

生：摸5 次。

生：5 次肯定不行。沒那么巧每次摸到都是不同的球。

師：你們的意思是摸5 次太少了？那如果多摸幾次呢？

生：（不確定）多摸幾次，應(yīng)該可以吧。

師：多摸幾次，說不定真可行，那我們試試？

二、動手操作，經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)過程

師：以小組為單位，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作。每組一個黑色袋子，里面裝有5 個球，球的數(shù)量結(jié)構(gòu)包括5紅、3 紅2 黃、2 紅3 黃和1 紅4黃四種情況。

出示操作要求：

1.閉著眼睛，每次任意摸出一個球。

2.用打“√”的方法把每次摸到球的顏色記錄在表格中，最后統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

3.記錄之后，把摸出的球放回袋中，搖一搖后再摸。

4.10 次10 次地摸（最多30次），摸到可以得出結(jié)論為止。

（學(xué)生操作后，小組反饋形成下表）

images/BZ_20_265_2210_340_2270.png小組 摸球次數(shù) 顏色統(tǒng)計(jì) 預(yù)測結(jié)果1 20 紅20 次，黃0 次 5 紅2 30 紅18 次，黃12 次 3 紅2 黃3 30 紅15 次，黃15 次 3 紅2 黃4 20 紅9 次，黃11 次 2 紅3 黃5 10 紅10 次，黃0 次 5 紅6 30 紅12 次，黃18 次 2 紅3 黃7 20 紅7 次，黃13 次 2 紅3 黃8 30 紅9 次，黃21 次 2 紅3 黃9 30 紅7 次，黃23 次 1 紅4 黃10 20 紅5 次，黃15 次 1 紅4 黃

三、展開思辨，感悟數(shù)據(jù)價(jià)值

1.同樣的數(shù)據(jù)為什么推測出不同的結(jié)論？

師：同學(xué)們通過小組操作，預(yù)測了袋子里的裝球情況。請問，你們是怎樣得到結(jié)論的？大家是亂猜的嗎？

生：我們根據(jù)摸球之后記錄的數(shù)據(jù)來猜測結(jié)果，但不是亂猜。

師：你說的數(shù)據(jù)是指什么？

生：就是摸到兩種顏色球的次數(shù)。

師：也就是說，你們的結(jié)論是根據(jù)兩種顏色的球被摸到的次數(shù)推測出來的，對嗎？

生：（齊）對。

師：我發(fā)現(xiàn)第3 組的數(shù)據(jù)比較特殊，說說你們是怎樣分析的。

生：（3 組）我們組摸到30 次時，紅、黃球次數(shù)一樣，說明袋子里紅球和黃球數(shù)量相差不大，所以可能是3 紅2 黃，也可能是2紅3 黃。

師：你的意思是根據(jù)摸球得到的同樣的數(shù)據(jù)，推測出了兩種不同的結(jié)論？還有其他小組也有這樣的想法嗎？

生：（8 組）我們組摸到紅球9次，黃球21 次，黃球明顯多于紅球，可能是1 紅4 黃，也有可能2紅3 黃。

師：同學(xué)們能根據(jù)數(shù)據(jù)來推測結(jié)果，非常好！雖然同樣的數(shù)據(jù)可能推測出不同的結(jié)論，但總比亂猜的結(jié)論更可靠一些，同意嗎？

2. 不同的數(shù)據(jù)為什么推測出同樣的結(jié)論？

師：觀察統(tǒng)計(jì)表，有哪些小組的預(yù)測結(jié)果是相同的？

生：第1 組和第5 組預(yù)測結(jié)果都是5 紅，第9 組和第10 組都是1 紅4 黃，還有第2、3 組是3 紅2黃，第4、6、7、8 組是2 紅3 黃。

師：我們再來觀察，預(yù)測結(jié)果相同的小組得到的數(shù)據(jù)相同嗎？

生：不同。

師：那么，不同的數(shù)據(jù)為什么推測出同樣的結(jié)論？舉例說一說。

生：（6 組）我們摸到紅球12次，黃球18 次。紅球比黃球少，但相差不大，所以推測是2 紅3 黃。

生：（8 組）我們摸到紅球9次，黃球21 次。紅球比黃球少，雖然相差較大，但我們覺得有可能是2 紅3 黃。

師：越來越棒了！先根據(jù)誰被摸到的次數(shù)多，就判斷哪種顏色的球多；再看次數(shù)相差得大不大，從而推測出紅球和黃球各有幾個。是這樣嗎？

生：是的。

師：老師發(fā)現(xiàn)，各小組摸的總次數(shù)有10 次、20 次，也有30 次。相對而言，摸30 次的小組多一些，你們怎么看？

生：摸30 次，更能確定袋子里的紅、黃球數(shù)量。

生：摸得次數(shù)越多，預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性越高。

師：你們的意思是數(shù)據(jù)越多，結(jié)論越準(zhǔn)確，是嗎？那摸10 次、20次得出的結(jié)論就一定不準(zhǔn)確嗎？

生：那也不一定，得看運(yùn)氣。

生：我認(rèn)為摸30 次的準(zhǔn)確性高于20 次的，摸20 次的準(zhǔn)確性高于10 次的。

生：（5 組）我們摸完10 次都是紅球，就覺得袋子里可能全是紅球。

生：（1 組）我們組也是這么想的，但摸完10 次后感覺不放心，萬一有黃球沒摸到呢？于是，又摸了10 次，結(jié)果還是紅球。心想運(yùn)氣不會這么差吧，就不摸了。

師：如果繼續(xù)摸，摸50 次、100 次，甚至是更多次呢？

生：也不一定，如果運(yùn)氣特別差，還是不能確定的。

師：要完全確定袋子里的裝球情況，怎么辦？

生：打開看一看。

3.同樣的數(shù)量結(jié)構(gòu)為什么摸到的結(jié)果不一樣？

（經(jīng)統(tǒng)計(jì)，第4 組猜錯，其他小組正確）

師：這么多小組的預(yù)測結(jié)果正確，說明了什么？

生：說明我們摸了這么多次還是很有用的。

生：說明不能亂猜，要根據(jù)數(shù)據(jù)來猜。

生：根據(jù)數(shù)據(jù)來推測結(jié)果，更準(zhǔn)確一些。

師：為你們點(diǎn)贊！我們通過摸球得到的數(shù)據(jù)非常有價(jià)值，它與袋子里紅球、黃球的個數(shù)確實(shí)存在著一定關(guān)系。或者說，這些數(shù)據(jù)是有規(guī)律性的。

師：既然數(shù)據(jù)有規(guī)律性，為什么第4 小組預(yù)測結(jié)果錯了？

生：（4 組）我們摸了20 次，紅球9 次，黃球11 次，紅球少于黃球，我們就猜了2 紅3 黃。

師：紅球9 次，黃球11 次，你們會怎么猜？

生：我也會猜2 紅3 黃。

師：可實(shí)際結(jié)果是3 紅2 黃，這是為什么？

生：因?yàn)槲覀兪请S意摸的，有可能運(yùn)氣不太好，得到的數(shù)據(jù)就不準(zhǔn)確。

生：說明還是有點(diǎn)不確定。

師：不確定、運(yùn)氣，在數(shù)學(xué)上叫隨機(jī)性。第4 組的情況說明數(shù)據(jù)具有隨機(jī)性，還有哪里也可以讀出數(shù)據(jù)的隨機(jī)性？

生：第2 組和第3 組的結(jié)果都是3 紅2 黃，可他們摸出紅球和黃球的次數(shù)不一樣。

師：是的。像這樣，同樣3 紅2 黃的數(shù)量結(jié)構(gòu)摸到的結(jié)果卻不一樣，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。如果讓你在這些小組的袋子里再摸一次，你可以確定摸到什么顏色的球嗎？

生：第1 組和第5 組的袋子確定，其他組不行。

師：在第1 組或第5 組的袋中再摸一次，一定是？不可能是？

生：一定是紅球，不可能是黃球。

師：第1 組和第5 組袋中的結(jié)果能確定，叫確定事件。確定事件包括一定發(fā)生和不可能發(fā)生。其他組都無法確定，摸到的可能是紅球，也可能是黃球，叫不確定事件。如果老師和你玩一個猜摸球顏色的游戲，你有優(yōu)先權(quán)，你會選哪個小組的袋子？

生：我選只裝有5 個紅球的袋子，猜紅球肯定贏。

師：如果是3 紅2 黃的袋子，你會猜什么顏色？為什么？

生：紅色。因?yàn)榧t球多，摸到的可能性大。

師：你一定會贏嗎？

生：不一定。因?yàn)槊降那蚓哂须S機(jī)性。

4.不同的數(shù)量結(jié)構(gòu)有可能摸到同樣的結(jié)果嗎？

師：如果在3 紅2 黃和2 紅3 黃的袋中分別摸10 次，你覺得有可能摸到同樣的結(jié)果嗎？

生：有可能。因?yàn)閮蓚€袋子中紅球和黃球數(shù)量相差不大，而數(shù)據(jù)又有隨機(jī)性。

師：那如果在3 紅2 黃和1紅4 黃的袋中分別摸10 次呢？

生：看運(yùn)氣，也有可能，但可能性很小。

師：確實(shí)是這樣。數(shù)據(jù)既有規(guī)律性，也有隨機(jī)性。我們要相信數(shù)據(jù)，又不能全信。沒有數(shù)據(jù)，很多事情會變得盲目；但過分依賴數(shù)據(jù)，有時也會讓我們的判斷產(chǎn)生偏差。是這樣吧？

生：是的。

四、聯(lián)系生活，提升可能性認(rèn)識

1. 出示教材第49 頁主題圖“生活中的數(shù)學(xué)”，你能用今天學(xué)習(xí)的知識解釋圖中的現(xiàn)象嗎？

2.日常生活中經(jīng)常會用到可能性的大小，你能舉例說明嗎？

五、課堂小結(jié)，回顧學(xué)習(xí)過程

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對可能性有了什么新的認(rèn)識？有什么收獲與體會？

【課后研思】

小學(xué)生大多是確定性思維，這與我們長期的數(shù)學(xué)教學(xué)有一定的關(guān)系。為什么要學(xué)習(xí)可能性呢？主要是為了培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)思維，讓其學(xué)會用概率的眼光去觀察豐富多彩的大千世界。

史寧中教授指出：“統(tǒng)計(jì)教學(xué)很重要的是培養(yǎng)孩子們對于數(shù)據(jù)的感情。”小學(xué)階段可能性教學(xué)更多偏向統(tǒng)計(jì)，用數(shù)據(jù)來推斷可能性的大小，核心思想是對不確定事件的關(guān)注，讓學(xué)生體驗(yàn)事件發(fā)生的隨機(jī)性。課堂中設(shè)計(jì)“暗袋”，學(xué)生沒法看，只能先估，最后才打開看袋子加以印證。為什么要先估呢？在估的過程中更有利于學(xué)生親近數(shù)據(jù)，感悟隨機(jī)，體現(xiàn)數(shù)據(jù)的價(jià)值，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念。

“暗袋”的特點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生用實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，進(jìn)而推測袋中球的數(shù)量結(jié)構(gòu)。整堂課圍繞“數(shù)據(jù)”展開思辨：同樣的數(shù)據(jù)為什么推測出不同的結(jié)論？不同的數(shù)據(jù)為什么推測出同樣的結(jié)論？同樣的數(shù)量結(jié)構(gòu)為什么摸到的結(jié)果不一樣？不同的數(shù)量結(jié)構(gòu)有可能摸到同樣的結(jié)果嗎？這樣的設(shè)計(jì)實(shí)際上是基于新時期學(xué)生經(jīng)驗(yàn)概率的高認(rèn)知起點(diǎn)，直接跳過了教材的例1 和例2，從例3開始教學(xué)，目標(biāo)定位不是僅停留在概率教學(xué)本身，而是引導(dǎo)學(xué)生去關(guān)注數(shù)據(jù)，培養(yǎng)數(shù)據(jù)意識。從課堂效果來看，這樣的教學(xué)實(shí)踐是適切而科學(xué)的。

所謂“觀念”，并不是一種簡單的技能，而是需要在親身經(jīng)歷的過程中培養(yǎng)出來的感覺，它反映的是由一組數(shù)據(jù)所引發(fā)的想法，所推測到的可能結(jié)果，自覺地想到運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的方法解決有關(guān)的問題等等。當(dāng)然，如果我們在課堂教學(xué)價(jià)值追求上再高一點(diǎn)，甚至上升到哲學(xué)層面。我們怎樣用數(shù)學(xué)的眼光觀察這個充滿不確定性的客觀世界，用數(shù)學(xué)的思維辯證地看待和思考現(xiàn)實(shí)問題。相信，對學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展是有所幫助的。

當(dāng)然，本課的設(shè)計(jì)與實(shí)踐一定還存在許多不足之處，懇請各位方家批評指正！