案例教學法在高等數學課程中的應用研究

田淑環　王鑫

摘要：在分析高等數學課程教學現狀的基礎上，闡述了案例教學法的作用及應用意義，指出不同專業所選取的教學案例不同，并介紹了案例教學法的實施方案。

關鍵詞：案例教學;高等數學;教學改革

一、高等數學教學現狀

高等數學作為高等院校多數理工專業的公共基礎課，一方面為后續課程的學習提供必要的數學基礎及數學方法，同時通過高等數學的學習，可以進一步的培養學生的基本數學能力，提高綜合運用數學知識解決其專業問題，使其高等數學為其所學專業服務。但在課程教學中，大部分教師采取講授法，注重理論教學，忽略實踐教學，在這樣的教學下，大部分學生處于被動的接受知識，自主學習的能力較差，這就導致高等數學的學習存在著事倍功半的問題，學習效率不高，不利于學生的個人發展。

二、案例教學法在高等數學教學中的應用及意義

目前許多地方本科院校在向地方應用型本科院校轉型，而據上述高等數學的教學現狀，已不再適應當下應用型院校的發展，故對于高等數學的課程改革迫在眉睫，而案例教學法的特點就是通過分析一個個具體的案例對所學課程進行學習，突出實踐應用性，正好符合現在地方本科院校的改革。

案例教學法不僅體現了高等數學的應用價值，在運用案例教學法的過程中，專業不同所選取的案例也要不同，所選取的案例要與該專業相關，故案例教學法不僅體現了高等數學的應用價值，它還和專業聯系在一起，可以更好地為專業服務，這也正好體現了公共課的作用，同時體現了學科間的交叉。

三、案例教學法中的案例選取舉例

高等數學課程中幾乎每一部分知識都有很多案例，現已常微分方程中的一階微分方程的求解方法這一部分為例。

（1）減肥問題。隨著人們生活水平的提高，肥胖成為世人關注的問題，減肥健美日盛，許多醫生和專家建議，可以通過控制飲食和適當運動能夠達到減肥目的，但到底如何減肥，才能達到預期效果？這是一個大家都比較關注的話題，而就是這一熱門話題恰恰可以通過變量分離方程進行分析。具體分析如下：

每天攝入的熱量減去每天消耗的熱量就是人們體重的增減，具體攝入與消耗情況如下表所示：

每千克脂肪含熱量42000J，自變量為天數[x]，體重為[y]，則可以列方程為：

這是一個變量分離方程，利用分離變量法進行求解即可。

（2）探照燈反射鏡面形狀。在制造探照燈反射鏡面時，總是要求點光源射出的光線平行地反射出去，以保證探照燈有良好的方向性，分析反射鏡面的形狀，如下圖。

設光源在坐標原點，取[x]軸平行于光線反射方向，則反射鏡面由曲線[y=f（x）]，繞[x]軸旋轉而成，過曲線上任意點M（[x]，[y]）作切線MT。由光的反射定律：入射角 = 反射角。

可得 [∠]OMA=[∠]OAM=[α]，從而 AO=OM，故可得微分方程[yy'-x=x2+y2]，化簡可得[dydx=yx+x2+y2]，顯然為齊次方程。

（3）湖水污染問題。一湖泊的現有容積為Vm[3]，流入湖中的水流速度為3m[3]/min，流入水中每立方米含有0.02立方米的污染物，流出湖中的水流速度為 2m[3]/min，試分析湖泊的污染程度。

設[x]時刻湖水中的污染物含量為[ym3]，根據湖水中的污染物的瞬時變化率=污染物的流入速度-污染物的流出速度可得微分方程：[dydx=0.06-2yV+x]

這一方程為一階線性微分方程。

還有酒駕問題、人口問題等案例都屬于一階微分方程的實例，這里就不再一一介紹。

對于以上的三個具體實例并不是對于每個專業都能應用，對于第一案例——減肥問題，這個屬于趣味數學，哪個專業的學生都比較感興趣，所以都可以利用這一案例進行教學，而第二個——探照燈鏡面形狀問題，這是一個與物理專業相關的案例，所以可以在物理專業教學中應用，第三個——湖水污染問題，涉及到地理環境問題，所以適合在地理專業進行教學使用。故不同專業應該設計不同的教學案例。

四、案例教學法的實施方案

隨著信息時代的到來，高校教學也不能像以前那樣黑板加板擦進行教學，我們也要順應時代的發展，大力進行教學改革，將現在的信息化元素及手段融入到課堂中去。在近一年的高等數學教學過程中，我以學習通為平臺，采取分小組活動，課下準備，課上討論，課后鞏固的教學方法，將案例教學穿插到每個教學環節中，這樣有效提高了學生的自主學習能力，并大大激發了學生的學習興趣，下面以減肥問題為例具體介紹案例教學法的實施。

在這節課以前先通過學習通平臺發布任務，讓學生課前就開始對減肥問題進行了解，課上利用學習通平臺展開討論，討論如何求解減肥問題，大部分同學可以列出微分方程，但不能求解，更不能進行分析，這樣學生遇到困難，帶著問題學習變量分離方程的求解方法，這里采用了問題驅動法，很好地調動了學生的學習積極性，接著學生求解減肥問題，并對其進行分析，何種情況能夠減肥，何種情況不能減肥，最后課后鞏固，針對自己的體重，通過今天所學知識為自己制定一份減肥計劃。學生都非常感興趣，這樣大大激發了學生的學習興趣，提高了學生的自學能力。

參考文獻：

[1]郭俊輝，曹旭華，王福忠. 案例教學效果的最優模型探索[J].高等工程教育研究，2010（3）.

[2]陳國華等.數學建模與素質教育[J].數學的實踐與認識，2003，33（2）.