數形結合思想在初中數學解題中的應用

郝敬軍

【摘要】作為初中數學最基本最重要的數學思想之一，數學結合思想有著自身鮮明的特征和優勢，在解題中有著重要的應用，一線教師應給予其足夠的重視，并在教學實踐中積極探索和總結其應用規律。本文結合典型題例簡要探討了數形結合思想分別在“數與代數”“空間與圖形”“統計與概率”中的應用，冀對相關教學工作者有所助益。

【關鍵詞】數形結合;初中數學;解題應用;教學心得

我國大數學家華羅庚曾一針見血地指出：“數無形時少直覺，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事非。”作為數學兩個最基礎的概念，“數”和“形”對立而又統一。所謂數形結合，概括地說即為按照數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來達到問題的順利解決，其作用和優勢主要表現在通過“以形助數，以數解形”來簡化思維量和運算量較大的問題，從而大大提高解題效率和正確率。新課改將義務教育階段各學段的課程內容分為數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐四個基本部分[1]，除綜合與實踐活動外，數學結合思想在其他三個部分中均有重要的應用，以下擬結合題例對此展開較為系統的探討，冀對相關教學工作者有所助益。

一、數形結合在“數與代數”中的應用

大體而言，初中學段涉及數形結合的“數與代數”問題，可以分為數軸問題與函數問題兩個基本范疇。前者常見的情況有借助數軸處理相反數和絕對值問題，有理數的分類、大小比較、加法運算問題，不等式解集問題等，該類問題一般都較簡單，關鍵是抓住實數與數軸上點的對應關系，借助數軸彰顯數學關系。而后者相對來說則遠為復雜，這主要是因為函數本身即為初中階段的學習難點，且其往往與方程、不等式甚至幾何知識綜合在一起命題，變化復雜而多樣，對數學結合能力要求較高。解答這類問題的關鍵是將抽象的代數問題圖形化，挖掘隱含信息，理清條件關系，并和坐標系圖形進行正確對應。例如，在圖1所示的坐標系中，直線x=1是與x軸交于A、B兩點的拋物線y=x2+bx+c的對稱軸，線段AB=4，P是拋物線上位于第一象限的點，直線AP與y軸交于點D，與對稱軸交于點E，設點P的橫坐標是t，試求：①點A的坐標和拋物線的表達式;②當AE與EP的長度之比為1比2時，點E的坐標;③若M為拋物線頂點，與y軸交點為C，t為多少時四邊形CDEM是等腰梯形？

該題第一問很簡單，根據已知易求得拋物線的表達式為y=x2+2x+3，第二問和第三問涉及幾何知識，有一定難度，需要結合圖形認真分析，并通過作輔助線（如圖2所示）彰顯和利用隱含信息。第二問的解答過程大體為：由EG平行于PF，AE與EP的長度之比為1比2可知AG/AF=EG/PF=，又因AG長度為2，故有AF長度為6，點F坐標為（5，0），當x=5時，y=12，所以EG=4，則點E的坐標為（1，4）。第三問的解答過程為：由CD平行于EM可知∠ADO=∠AEM，又因四邊形CDEM是等腰梯形，所以有∠ADO=∠CME，則∠ADO∠CME。易知C（0，-3），M（1，-4），則有tan∠DAO=tan∠CME=1，所以OA=OD=1，所以直線AP的解析式為y=x+1，將其代入拋物線解析式得到x+1=y=x2+2x+3，解得x=4或x=-1（舍去），最終得到點P的橫坐標即t的值為4.

二、數形結合在“空間與圖形”中的應用

如果說“數與代數”中運用數學結合的關鍵在于代數關系圖形化，那么“空間與圖形”中的數學結合則與之相對應，即利用圖形彰顯代數關系或幾何數量關系。進一步而言，需要在吃透題意的基礎上發現圖形中的數學關系或通過構造圖形彰顯數學關系，進而合理利用最終使問題得到解決。在空間與圖形知識部分，不論是計算題還是證明題，都不會脫離這一基本思路。毫無疑問，自主構造圖形的情況難度更大，對學生應用數學結合思想的能力要求更高。我們來看一道簡單而較為典型的題例。

我國古人曾利用弦圖法成功證明勾股定理，即利用四個完全相同的直角三角形拼湊成一個正方形加以證明，你能想到證明過程嗎？

該題雖然簡單，但如果數形結合的敏感度不夠往往會感到無從下手，雖然題目已給了明確的提示，即利用四個完全相同的直角三角形拼湊成一個正方形，但解題者不僅需要確定如何拼湊，更要能發現和利用圖形中的相應數量關系來加以證明，這屬于典型的通過構造圖形彰顯數學關系的情況，考查的是深層次的數形結合能力。第一步，首先設直角三角形的三邊長分別為a、b、c，然后畫出四個直角三角形拼成一個正方形的示意圖，見圖3。

接下來就需要以圖形為載體，尋找等量關系列出代數式，通過變形來得到a2+b2=c2，思路是較為明確的，同時也不難想到，可以利用正方形的面積等于四個直角三角形之和來計算：一方面S正方形ABCD=c2;另一方面S正方形ABCD=4S三角形ABH+S正方形EFGH= 4×ab+（a-b）2=2ab+a2-2ab+b2=a2+b2，故a2+b2=c2。

三、數形結合在“統計與概率”中的應用

初中階段的統計與概率屬于基本層面，主要是為高中階段的深入學習奠定基礎，但其固有的抽象性和邏輯性對于正從形象性思維向經驗型抽象思維過渡的初中生來說仍具一定難度。這種情況下，數形結合的直觀性優勢便得以彰顯。通常來說，當問題事件中的元素大于或等于3時，通過畫樹狀圖的方式可以達到化抽象為形象，大大減少思維量從而提升解題效率和正確率。如下題。

某家庭有三個孩子，求：（1）3個孩子均為男孩的概率;（2）三個孩子中2個男孩1個女孩的概率;（3）3個孩子中至少一個為男孩的概率。

根據題意畫出樹狀圖如圖4。

基于該圖可以很容易看出每種情況的概率：P（3男）=;P（2男1女）=;P（至少1男）=。

綜上所述，本文結合題例簡要探討了數形結合思想分別在“數與代數”“空間與圖形”“統計與概率”中的應用。作為初中數學最基本最重要的數學思想之一，數學結合思想有著自身鮮明的特征和優勢，在解題中有著重要的應用，一線教師應給予其足夠重視，并在教學實踐中積極探索和總結其應用規律。本文拋磚引玉，尚盼同仁指教。

【參考文獻】

[1]義務教育階段數學課程標準[S].中華人民共和國教育部，2017.