例談用策略+巧訓練解決初中數學中的圖形與幾何問題

徐策

摘 要：八年級學生能否正確規范地解決圖形與幾何問題是檢驗學生的空間觀念、幾何直觀、推理能力等數學核心素養的標尺。注重解題策略和精巧訓練相結合的方法，使學生學會圖形與幾何問題的解決，進而實現數學能力和數學素養的提升。

關鍵詞：圖形與幾何問題;解決策略;數學素養

初中數學中的圖形與幾何知識是發展學生空間觀念、幾何直觀、推理能力的核心內容。人教版教材將這塊知識安排在八年級數學上下冊中，占八年級全部內容的一半。如此重要，難免有一部分學生對圖形與幾何問題的解決頻繁出錯，以致學生失去積極性出現厭學傾向。其根本原因為：一方面是學生對這塊知識中蘊含的關鍵詞——對應、全等、平行、垂直、軸對稱等理解膚淺，或只理解但不會在其他情境中靈活應用;另一方面是學生缺乏正確規范的解題策略的指導和適量的技巧訓練，沒有積累到基本的解題經驗。基于此，如何引導八年級學生正確規范地解決這類問題和積累基本的解題經驗，以下是筆者的幾點做法和思考。

一、重新畫圖，尋求入口，實現順利解題

規范的數學圖形是順利解題的基礎。在解決問題之前進行重新規范畫圖，既能引起學生對圖形的定義、性質的溫習，又能為問題解決找到突破口。因為有一部分圖形與幾何問題中給定的圖形定格在某一狀態，并不是解題所用的規范圖形，需要學生根據題意重新構建適合該題的圖形，利用幾何直觀尋求解題思路，實現順利解題。

例1.如圖1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，點N是線段BC上的一個動點，將△ACN沿AN折疊，使點C落在點C'處，當△NC'B是直角三角形時，CN的長為__________________。

分析：由圖1可見，若C'落在△ACB內部時，△BC'N只能是鈍角三角形，對問題解決而言圖形不匹配不規范，缺少幾何直觀。需要引導學生重新畫圖，凸顯圖形的直觀性如圖2、圖3。再根據勾股定理即可解題。

二、分解圖形，提取有用，實現精準解題

把復雜的幾何圖形簡單化也是解決這類問題的常用方法。圖形與幾何問題的解決中，要引導學生分解分離復雜圖形，排除與解題無關圖形的干擾，提取有用圖形，實現精準解題。

例2.如圖，在矩形ABCD中，BD是其對角線，點E是BD的中點，過點E作直線FG，分別交BA、DC的延長線于點F、G，連接BG、DF，求證：△FEB≌△GED。

分析：如圖4，從圖形看線段較多略顯復雜，后進生很難找準對應邊和對應角，證明△FEB≌△GED時易出錯，那么對原圖進行分解提取與證明有關的圖形如圖5，這樣排除了多余線段AD、BC、DF、BG的干擾，即用AAS法或ASA法得證結論，實現精準解題。

三、抓關鍵詞，添線構圖，實現靈活解題

義務教育數學課程標準指出，在教學活動中，要鼓勵與提倡解決問題策略的多樣化……豐富數學活動的經驗，提高思維水平。縱觀八年級數學中的圖形與幾何問題，不難發現問題中所包含的關鍵詞是理解題意，添加輔助線，構造解題圖形的金鑰匙。新構圖形的出現為進一步解決問題搭起腳手架，從而實現靈活多法解決問題。

例3.如圖6，四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD=AC，求證：BD=AC。

分析：由AB∥CD，構造圖7圖8得平行四邊形ABFC、ABDE、BDCE、ACDF，實現解題。也可根據圖9運用等角對等邊或軸對稱圖形完成證明。

四、及時復習，巧妙訓練，豐富解題經驗

初中數學中的例題具有典型性、示范性，是解決同類問題的樣本。這就要求教師在教學中注重鉆研習題，精心設計同一知識點在不同環境中的應用，培養學生適應不同的問題環境，從而提高學生的探究能力。例如，在復習八年級圖形與幾何知識中的最短路徑問題時，巧設題組訓練，將這一知識點依次放在等腰三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、圓及直角坐標系中讓學生進行探究解決。這樣既鞏固加深了本知識點的應用又積極主動地溫習了以上幾種圖形的定義、性質和相關定理。可以說把八年級所有的圖形與幾何知識串聯性地復習了一遍，同時也積累了一定的解題經驗，可謂一舉多得。

總之，八年級學生能否對教材中的圖形與幾何問題的正確解決是檢驗數學核心素養落實的試金石。在教學中，首先要引導學生對應、全等、平行、垂直、軸對稱等關鍵詞的理解和應用。其次要搞懂教材中的范例分析，加強解決策略的指導，使學生熟練運用重新畫圖、分解圖形、添線構圖的基本解題策略;最后更要對學生進行精巧的訓練，拓展學生的思維，積累豐富的解題經驗，為后續圖形與幾何知識的學習打下堅實的基礎。

注：本文為甘肅省教育科學“十三五”規劃課題“關于解決初中數學中的圖形與幾何問題的策略研究——以人教版八年級教材和學生為例”研究成果，課題批號：GS[2018]GHB1041。

編輯 高 瓊