數學課上應重視結論生成的過程

馮春花

[摘? 要] 數學教學不僅要教給學生數學知識，而且還要揭示獲取知識的思維過程. 我們要重視發現的過程和知識形成的過程，這樣更能加深對結論和知識的記憶與理解. 數學學習，是學習數學的思維過程，是學習數學的參與過程，是學習數學的合作交流的過程，是整個數學學習的提高過程和生成的過程.

[關鍵詞] 參與;合作;過程;生成

思維是人腦對客觀事物的一般特殊性和規律性的一種間接的、概括的反映過程. 數學思維是對數學對象（空間形式、數量關系、結構關系等）的本質屬性和內部規律的間接反映，并按照一般思維規律認識數學內容的理性活動.

中學數學教學大綱指出：“數學教學不僅要教給學生數學知識，而且還要揭示獲取知識的思維過程. ”因而我們要重視發現的過程和知識形成的過程，這樣更能加深對結論和知識的記憶與理解.

理科學習重在平日，不適于突擊復習. 平日學習最重要的是課堂45分鐘，聽講要聚精會神，思維緊跟老師. 同時要說明一點，許多學生容易忽略老師所講的數學思想、數學方法，而注重題目的解答，其實諸如化歸、數形結合等思想方法遠遠重要于某道題目的解答. 這也就是一堂課該有的生成過程.

接下來筆者以“圓周角”一課為例，做具體說明.

課前設計說明：（1）讓數學思想方法滲透在課堂教學之中，本課引導學生運用“從特殊到一般”的數學思想方法，將圓周角的度數與所對弧的度數之間的關系迎刃而解. 培養學生在分類討論時，要全面，同時要注重教學與實踐相結合的辯證唯物主義思想，培養學生的應用意識. （2）本課設計時，貼近學生，注重課堂上讓學生主動參與和合作交流，關心交流的過程，因為過程比結論更重要.

重視定理或結論的合作交流過程和推導發現過程

步驟1：（1）復習回顧，什么叫圓心角及圓心角的特征，接著請一位學生上來在已畫好的圓上任畫一個圓心角;（2）如何確定圓心角的大小？

學生甲：用量角器直接量出.

老師：此方法可行嗎？說說你們的理由. 下面以小組為單位交流，是否有更好的辦法？

學生乙：此法可行，而且比較直截了當，也容易操作.

學生丙：此法可行，但有不利的一面，就是在度量時容易產生誤差.

老師：圓心角是一種比較特殊的角，能否根據圓中的其他量來確定圓心角的大小呢？請大家繼續交流.

不一會兒有一組學生經過交流，有了發現：圓心角的大小與它所對弧的度數是一樣的. 大家都投去贊許的眼光，筆者請該小組的學生來解釋這個問題.

（一個學生操作，一個學生解釋. 如圖1）

將☉O的圓周六等分，得======60°，沿6條半徑剪開，將圓分成6份，每份拼在一起正好能完全重合，說明∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA=60°，即圓心角∠AOB= 的度數. （對此，其他學生和筆者都給予了該組學生贊許的眼光. ）

重視對概念的形成和辨析過程

首先對于規律、定理，不僅要知其然，還要知其所以然，做到刨根問底，這便是理解的最佳途徑. 其次，學習任何學科都應抱著懷疑的態度，尤其是理科. 對于老師的講解、課本的內容，有疑問應盡管提出，與老師討論. 總之，思考、提問是清除學習隱患的最佳途徑.

在教學中，對于一些概念、定義，若直接給出結果，則收益很小，不如讓學生注重自我發現，在錯誤辨析中加強記憶，通過舉例子、打比方等方法，加深理解.

步驟2：由圓心角的特征，（1）請學生畫出一個圓周角，（2）說出什么叫圓周角，（3）指出圓周角的特征.

基本上所有學生都能準確畫出一個圓周角，但關于定義有兩種分歧，即頂點在圓周上的角是圓周角和頂點在圓周上且兩邊與圓相交的角是圓周角. 經過小組交流、探討，看書本第49頁4張圖形，最后達成共識，即頂點在圓周上且兩邊與圓相交的角是圓周角. （最后指出，以圓心為頂點畫一個角，則兩邊永遠與圓相交，因而圓心角的條件只要滿足頂點在圓心即可. ）

注重教師的引導過程，做到形

散神收

數學課畢竟不是活動課和勞動課，新課程注重學生的活動和參與，但若不加以引導，那么有可能會脫離主題甚至脫離實際，離開數學這個軌道. 要提高學生思維的嚴謹性，必須嚴格要求，加強訓練. 落實到孩子學習生活中去，就是要求在學習新知識時從基本理念開始，做到在思路清晰的前提條件下穩扎穩打，逐步深入，在這個相對來說緩慢的過程中養成思考問題周密的思維習慣，在進行論證推理時掌握足夠的理由作為依據;在練習試題時善于留心題干中的隱蔽條件，做到形散神收.

步驟3：圓周角的大小與它所對的弧是否也存在著某種關系呢？

老師：為了研究它們內在之間的關系，我們要學會猜想和分析，其中常用的方法是從特殊到一般的思想方法.

（如圖2，當圓周角所對的弧是半圓時）

已知：在☉O中，AB為直徑，探索∠ACB與弧AB之間的關系.

分析：（先猜想，后著手說明）由圖易猜得∠ACB=90°，

即∠ACB=的度數.

學生說明：（即如何說明△ABC為直角三角形）

連接OC，則OA=OB=OC=R，

所以∠A=∠ACO，∠B=∠BCO.

又∠A+∠B+∠ACB=180°，

所以∠ACO+∠BCO+∠ACO+∠BCO=180°，

所以∠ACO+∠BCO=90°，

即∠ACB=90°.

歸納：①當圓周角所對的弧是半圓時，可知圓周角的度數就等于它所對弧度數的一半;

②半圓所對的圓周角為直角，反之也成立;

③直徑所對的圓周角為直角，反之也成立;

④此方法是證明一個三角形為直角三角形的常用方法，即一邊上的中線等于這邊的一半時，此三角形為直角三角形.

注重學生的主動參與和合作交流的過程

只有學生主動參與結論的發現過程，才更有利于知識的記憶和理解，通過學生自己的分析、猜想、探索、合作、交流、綜合、歸納，不斷提高學生分析問題和解決問題的能力，同時也加強了學生之間互幫互助的美德，在學習的同時也學會與人相處.

步驟4：分析一般情況.

老師：這只是一種特殊情況，要是一個圓周角所對的弧不是半圓呢，它又會有什么結論呢？請大家畫圖，并進行小組討論. （不過多久，各組上的學生就開始紛紛舉手，筆者請其中一組同學說明他們的發現，展示他們的成果. ）

（一位學生畫出圖形，一位學生解釋，如圖3）

學生：仿照圖2，我們畫出了圖3，區別在于圓周角∠ACB所對的弧AB不再是半圓. 但我們依然發現∠ACB=的度數，或者說∠ACB=∠AOB.

理由是，連接OA，OB，OC，并延長CO交☉O于點D，同理∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，而∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO， 所以∠ACO+∠BCO=（∠AOD+∠BOD）， 即∠ACB=∠AOB=的度數.

結論是，圓周角的度數等于它所對弧度數的一半;或者說等于它所對圓心角度數的一半.

（另一組學生中有人舉手說，他們的結論下得過早，他們只說明了圓周角所對的弧是劣弧是的情況，而圓周角所對的弧還有可能是優弧. 如圖4，理由如上，不必詳述. ）

步驟5：看書，理解不同的說明方法. （老師適當點評）

（1）圓心O在圓周角∠CAB的一邊上時，如圖5：

易知∠CAB=∠ACO，∠COB=∠CAB+∠ACO，所以∠CAB=∠COB=的度數.

即圓周角的度數等于它所對弧度數的一半;或者說圓周角的度數等于它所對圓心角度數的一半.

（2）圓心O在圓周角∠CAB的內部時，如圖6，結論同樣成立.

（3）圓心O在圓周角∠CAB的外部時，如圖7，∠CAD=∠COD，∠BAD=·∠BOD，所以∠CAD-∠BAD=（∠COD-∠BOD），即∠CAB=∠COB，結論同樣成立.

注重師生的歸納和點評過程

對學生盡可能加以肯定，讓學生充滿自信;同時點評要注意準確性，要讓學生有所提高. 因為在數學學習的過程中，學生要善于從已有的答案和解題過程中提煉出自己想要的東西，發表自己的見解. 不能一味盲從，要學會用批判性的思路去進行各種方式的反思和檢驗. 就算思想上完全接受了，也要謀改善，提出新的想法和見解.

學生：不管用哪種說明方法，都隱含了一種數學思想方法——從特殊到一般，以后要加以重視和運用.

教師：大家都積極思考，主動參與，而且發現了正確結論，老師很為你們高興，有你們這種討論和探索的精神，你們肯定會不斷進步. 另外，我感到特佩服的是——你們不死讀書，你們發現結論的過程和書上是不一樣的，而你們的方法也非常簡潔明了.

總之，數學學習，是學習數學的思維過程，是學習數學的參與過程，是學習數學的合作交流的過程，是整個數學學習的提高過程和生成的過程.