透視圖形折疊，探討問題策略

劉燕

[摘? 要] 圖形折疊是初中數學的重點內容，其中的“變”與“不變”性質是該類問題解答的關鍵. 教學中首先要使學生理解圖形折疊的本質，掌握相關的性質，其中存在一些問題，文章將對其加以探討.

[關鍵詞] 圖形折疊;幾何問題;教學微設計

問題起源

“圖形的折疊”是初中數學幾何模塊重要的知識內容，是構建幾何體系的關鍵，初中階段學生需要掌握圖形折疊的本質、關鍵參數以及圖形折疊的性質. 圖形折疊會帶來眾多的關聯問題， 如折疊點的具體位置、折線的長度、重疊面積以及相關的角度和線段長問題. 考慮到折疊對象涉及三角形、矩形和正方形等圖形，若學生對圖形折疊知識理解不到位，則很容易陷入思維誤區，造成解題錯誤. 因此十分有必要對圖形折疊內容進行解讀，開展教學微設計，深入探討折疊的關聯問題.

知識解讀

幾何中的折疊實際上就是圖形變換的一種方式，折疊的過程實際上就是軸對稱變換的過程，因此折線就是圖形的對稱軸，折疊前后的圖形關于折線成軸對稱關系. 考慮到折疊圖形完全重合，因此折疊過程存在圖形全等關系，根據圖形全等可知折疊前后圖形的形狀、大小、對應邊、對應角不變，僅發生位置的改變，因此圖形折疊的關聯問題是圖形的全等以及相關幾何關系的證明.

圖形的折疊相對較為復雜，在實際操作中需要繪制折線和圖形折疊前后的位置，方便圖形幾何關系的分析，而在解決實際問題時同樣可以采用該種方式，通過添加輔助線的方式用數學語言表述折疊的性質，然后利用特殊圖形和幾何定理來突破考題.

教學微設

初中數學的教學除了需要指導學生掌握基本的知識，還需要引導學生體驗知識探求的過程，促進學生思維的發展，教學圖形的折疊內容同樣不例外，需要從基本幾何知識開展教學微設.

微設一：本質的探尋

課堂上準備一矩形ABCD，如圖1，將△ABD沿著對角線BD進行折疊，使得頂點A落在矩形外的點E處，設BE與CD的交點為點O，AE與BD的交點為點F，分析△ABD折疊過程中存在哪些結論.

引導1：關注圖形的折疊過程，分析折疊前后的對應點，以及圖形的折痕.

引導2：關注折疊前后圖形在大小和形狀上的關系，從幾何全等或相似角度分析.

引導3：分析圖形中的全等三角形，根據全等性質從邊和角兩方面總結結論.

引導4：分析折疊前后圖形關于折痕的關系，從軸對稱的角度概述折疊的本質.

微設二：通法的探尋

繼續以矩形ABCD為例，設AB=8，BC=6，此次以圖2所示情形進行折疊，將△ABP沿BP進行折疊，使得點A落到矩形的邊DC上，落點設為E.

設問1：上述折疊過程存在哪些特點？（分析折痕）

設問2：根據已知條件還可以求出哪些線段長？

設問3：若要求AP的長，如何構建思路？

引導：首先讓學生分析上述圖形折疊的特點，根據已知條件求出一些線段長，然后分析其中的直角三角形，通過設未知數，利用勾股定理構建代數方程來求線段長.

類題探析

初中數學以圖形折疊為基礎衍生的幾何問題類型較多，涉及眾多的典型問題，中考還涉及一些關聯知識，因此在問題分析時除了需要利用圖形折疊的知識外，還需要把握問題的結合點構建思路，下面舉例探析.

1. 通過折疊，求解線段長

例1? 在圖3所示的矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E為BC的中點，現將△ABE沿著AE進行折疊，點B最終落在了點F處，且位于矩形的內部，連接CF，則CF的長為______.

分析? 本題目主要考查圖形折疊和矩形的性質，首先需要提煉折疊的對象、折線和折疊后的圖形，根據折疊性質明確等量關系. 求CF的長需要將其放在特定的三角形中，利用三角形的相關定理構建求解模型. 連接BF后，根據三角形的面積公式可求BH，進而可得BF的長，分析可知△BFC為直角三角形，可以利用勾股定理來求CF.

解答? 連接BF，交AE于點H，如圖4所示，根據折疊性質可知BE=EF，BH=FH，AE⊥BF，對△ABE使用等面積法，可得S=AB·BE=AE·BH，可求得BH=，BF=2BH=. 由于EF=BE=CE，所以△BFC為直角三角形，即∠BFC=90°，在Rt△BFC中使用勾股定理，可得CB2=BF2+CF2，代入線段長可解得CF=，即CF的長為.

2. 分析折疊，求解圖形面積

例2? 如圖5所示，四邊形ABCD為一矩形，邊長BC=8 cm，AB=6 cm，現將矩形ABCD沿著對角線BD進行折疊，最終點C落在矩形外的點E處，設折疊后AD與BE的交點為點F，則折疊后重疊部分△BFD的面積為______.

分析? 本題為以矩形折疊為背景求重疊面積的幾何題，首先需要根據題意明確圖形折疊的過程，即矩形沿著對角線BD進行對折，點D的對稱點為點E. 然后根據折疊特性提煉幾何條件，主要有兩類：一是等角，二是等邊. 然后基于面積公式求解關鍵的線段長.

解答? 折疊前后的圖形為全等三角形，即△BDE≌△BDC，則∠1=∠2，BE=BC，DE=DC. 矩形中AD∥BC，則∠1=∠3，所以∠2=∠3，必然有BF=DF. 重疊的圖形為△BFD，則其面積S=BF·DE=FD·DE，在Rt△BAF中構建求解三角形邊長的方程，設FD=x，FA=8-x，由勾股定理可得BA2+AF 2=BF 2，及62+（8-x）2=x2，解得x=，所以S△FBD=××6= cm.

3. 透視折疊，突破三角函數

例3? 如圖6所示，將矩形ABCD的一邊AD進行折疊，使得點D落在矩形底邊BC上，對應點為點F，若矩形的AB=8 cm，BC=10 cm，則tan∠EAF=______.

分析? 本題目同樣為典型的圖形折疊問題，特殊之處在于融合了三角函數，在初中階段求解三角函數值一般需要將其放置在直角三角形中，利用三角形的邊長比值關系求解. 由題意可知△ADE≌△AFE，則△AFE為直角三角形，所以tan∠EAF=，因此只需要利用題干條件求解線段EF和AF的長度即可.

解答? 四邊形ABCD為矩形，則CD=AB=8，AD=BC=10，分析折疊過程可知△ADE≌△AFE，所以∠AFE=90°，AF=AD=10，在Rt△ABF中利用勾股定理，可得BF=6. 設EF=x，則DE=EF=x，CE=8-x，CF=BC-BF=4，在Rt△CEF中利用勾股定理，可解得x=5，即EF=5. 在Rt△AEF中，tan∠EAF==.

上述剖析了與折疊相關的幾類問題，涉及了基本問題以及較為復雜的綜合問題. 從問題分析的本質來看，實際上就是分析圖形折疊的本質，利用折疊的性質求解相關的條件. 無論是求解三角形面積，還是求三角函數值，均需要將問題轉化為求解相應的線段長，常規的方法主要有兩種：一是利用三角形全等或相似來直接獲得，二是借助直角三角形的勾股定理，構建求解線段長的方程，通過解方程的方式獲得.

教學反思

圖形折疊是初中數學的重點內容，從“四基”理念出發需要教師在教學中回歸教材基礎，剖析知識本質，突出重難點，關注考點類題，下面提出幾點教學建議.

1. 立足折疊本質，串聯知識內容

圖形折疊作為幾何的重要部分，有著一定的特殊性，屬于幾何動態知識，學生在學習時必然存在一定的難度，因此在教學中需要把握知識的本質，引導學生剖析圖形折疊背后的內容，即折疊的本質和性質. 考慮到其知識內容又具有關聯性，教學中十分有必要引導學生對其加以串聯，將三角形全等、軸對稱相結合，構建完整的知識體系，強化學生對折疊的理解，為后續的問題探析打下基礎.

2. 關注問題方法，構建解題思路

圖形折疊是中考較為典型的一類問題，涉及求基本的線段長、幾何角，以及復雜的面積、三角函數等，前者求解較為簡單，但后者具有一定的綜合性，需要教師啟發思路，幫助學生掌握方法. 一般以折疊為載體的綜合性問題，教學中首先需要引導學生復述圖形折疊的過程，然后從中提煉關聯條件，對具體問題進行轉換，建立問題與條件的聯系，最后借助對應的數學模型求解. 例如求折疊中的幾何面積，可以基于面積公式將問題轉化為求線段長，利用特殊三角形的性質構建代數方程.

3. 滲透數學思想，提升數學思維

折疊問題的求解過程涉及眾多的思想方法，從思想內容來看，解題的過程就是在思想方法的指導下完成問題轉化與建模，其中最為重要的思想有數形結合思想、方程思想和構造思想. 數形結合滲透在整個問題的分析過程中，而方程思想和構造思想蘊含在求解相關線段長的模型中. 教學中需要關注兩點：一是嚴格按照思想方法的意義進行教學指導，二是使學生經歷利用思想方法解題的過程，領悟運用思想方法的解題思路. 在教學中合理地滲透數學思想，不僅可以使學生掌握解題策略，還可以提升學生的思維，使學生獲得長足的發展.