關注問題類型，探索解題模型

李思瑗

[摘? 要] 作為幾何中最為基本的圖形，平行四邊形具有眾多的公式定理和問題類型，學生在解析時存在一定的難度——難以準確地選用對應的公式定理，因此對問題進行歸納，提煉解題模型十分必要. 文章從平行四邊形的基本問題入手，逐步深入探析，總結解題模型，以期對讀者有所幫助.

[關鍵詞] 平行四邊形;模型;比值;三角函數

問題起源

平行四邊形是初中數學中最為重要的幾何圖形之一，掌握圖形的性質，并對其加以證明是教學大綱對學生的基本要求. 雖然平行四邊形的性質、定理較為豐富，但學生單獨理解其中的某一內容還是比較容易的. 其難點在于解決將眾多的知識點進行融合而構建的相對復雜的綜合題. 考慮到學生的綜合應用能力較弱，有時難以直切主題、高效破解，所以此時十分有必要引進平行四邊形的解題模型，使用模型揭露問題本質，引導學生完成問題的分析與求解[1]. 而要引進解題模型，就需深入了解平行四邊形的問題類型.

問題探索

兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形，這是平行四邊形的定義，由此可以衍生出平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分等基本性質. 由平行四邊形的性質和定理構建的基本問題類型，包括判定某個四邊形為平行四邊形，證明線段相等、兩線平行，求線段的長或圖形的面積等. 下面結合問題實例加以探析.

1. 探索一：特殊關系模型

平行四邊形有對邊相等、對角線互相平分的性質，由上述性質可以獲得平行四邊形內的幾組相等線段，但實際解題時，試題考查的兩條線段一般不存在上述關聯性，所以需要學生基于對平行四邊形的理解，結合相關幾何知識來構建長度關系. 此時可以考慮從平行四邊形的內角入手，構建特殊的三角形，利用特殊關系來求證.

例1如圖1，在平行四邊形ABCD中，AF平分∠BAD，與線段DC的延長線交于點F，求證：DA=DF.

[圖1][B][D][C][F][A]

解析本題除了平行四邊形的性質外，另一個重要的條件為“AF平分∠BAD”. 根據角平分線的性質，可得∠BAF=∠DAF，而平行四邊形的兩組對邊分別平行，所以有AB∥DF. 利用直線平行的性質定理，可得∠BAF=∠F，進而可得∠DAF=∠F. 所以△DAF是等腰三角形. 由“等角對等邊”，可證得DA=DF.

模型提煉求證線段等長問題，可以考慮采用“角平分線+平行線→等腰三角形”這一模型，即利用問題中的角平分線，結合平行四邊形的對邊平行性質，構建等腰三角形，隨后利用等腰三角形的性質來構建兩條線段的長度關系. 此外，也可以逆用該模型，由等腰三角形來逆推角平分線.

2. 探索二：等面積模型

在以平行四邊形為背景的幾何題中，除了常見的證明題外，還有求線段的長、圖形的面積等問題，即計算類問題. 要解決此類問題，還需要利用三角形的面積公式、周長公式等. 如果所求三角形的形狀較為特殊，則可以直接根據公式來探索線段長，而對于形狀較為抽象的一般幾何圖形，則可以考慮使用“等面積”模型[2].

例2如圖2，BD⊥AC，AF=FC，點E為四邊形ABCD外一點，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC.

（1）試證明四邊形ABDE為平行四邊形;

（2）若DA是∠BDE的平分線，設AB=5，AD=6，求AC的長.

解析（1）要證明四邊形ABDE為平行四邊形，只需依據平行四邊形的判定定理來探索條件. 因為AE和BD均垂直于線段AC，所以AE∥BD. 由∠ADE=∠BAD，可得AB∥ED. 故四邊形ABDE為平行四邊形.

（2）根據“角平分線+平行線”的模型，可證平行四邊形ABDE為菱形，具體過程如下：因為DA是∠BDE的平分線，所以∠BDA=∠ADE. 結合∠ADE=∠BAD，可得∠BAD=∠BDA. 再由“等角對等邊”，可得AB=BD. 根據定理“有一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形”，可得四邊形ABDE為菱形. 接著連接BE，可得BE⊥AD. 對于菱形ABDE的面積，有兩種求法，即S=AD·BE，S=BD·AF，根據等面積法，可得AD·BE=BD·AF，于是可求得AF=，AC=2AF=.

模型解讀在幾何圖形中求解線段長，可以利用“等面積”模型，即從不同的角度構建同一圖形的面積，根據面積相等構建相關線段長的數量關系，從而達到求解的目的[3]. 另外，也可以利用等面積模型對問題進行轉化，即根據圖形的面積相等，將所求圖形的面積轉接到另一圖形上，在構建時需要嚴格按照圖形的面積公式，對相關線段的長加以分析.

深度剖析

近幾年的中考試題越發注重對知識進行綜合考查，同時出現了眾多以平行四邊形為背景，結合知識聯系點所命制的綜合類考題，如與三角函數、代數比值相結合構建的幾何題. 該類問題一般具有很強的拓展性，可以從不同的角度構建解題思路，也可以直接利用解題模型來加以探究，下面對其深入剖析.

1. 問題一：已知比值，求線段

幾何中的比值實際上就是線段長的數量關系，求解時可以利用方程模型，即基于方程思想，設出相關線段的長或設定關于線段長的參數，然后基于幾何關系構建方程，通過解方程的方式來求解.

例3如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，CD為邊AB的中線，過點D作DE⊥BC于點E，過點C作CF∥AB交DE的延長線于點F，連接BF，AE.

（1）試證明四邊形BDCF為菱形;

（2）若S=24，=，試求CF的長.

解析（1）按照先證四邊形BDCF為平行四邊形，再證其為菱形的思路進行證明即可.

（2）題干給出了兩個關鍵條件：一是四邊形BDCF的面積，二是EC與AC線段長的比值. 考慮到利用幾何的面積公式可以將幾何面積轉化為幾何線段長的乘積，因此給出四邊形BDCF的面積，實際上就是給出了幾何線段的關系. 由=，可設EC=2a，則AC=DF=3a. 四邊形BDCF的面積可以表示為S=BC·DF，其中BC=2EC=4a，進而可得·4a·3a=24，又a>0，所以a=2. 所以EC=4，EF=3. 根據勾股定理，可得CF=5.

模型解讀在比值類問題中構建代數方程是求解該類問題的重要思路之一，其中的方程模型是基于幾何關系所構建的，常見的構建策略包括利用幾何面積、勾股定理、三角函數值等. 具體的構建步驟為：設未知數或參數→析關系→構方程→解未知.

2. 問題二：融合三角函數

三角函數是初中數學中較為特殊的一類函數，在初中階段研究三角函數，一般將其放置在直角三角形中，構建相關線段長的比值關系. 中考試題中融合三角函數的方式主要有兩種：一是直接給出三角函數值，用以分析幾何關系;二是根據已知條件來分析三角函數. 無論是求解哪類試題，都可以利用解直角三角形模型來分析、破解.

例4如圖4，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，BD=8，∠ABD的正切值為，試求線段AB的長.

解析四邊形ABCD為菱形，根據其性質可得對角線AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，因此△AOB是以∠AOB為直角的三角形. 在該三角形中，tan∠ABD=，又BO=BD=4，所以=. 所以AO=3. 由勾股定理，可得AB==5.

模型解讀直角三角形是一種特殊的三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理構建三邊長的關系，也可以結合三角函數值構建邊長的比值關系，因此利用直角三角形的解題模型可以巧妙地求解相關幾何問題.

解后思考

上述對平行四邊形的相關問題進行了探究，并總結了對應的解題模型. 實際上，解題模型是基于對問題的深度探究，是對解題思路和方法的高度概括，對加深問題理解和提升解題效率有一定的幫助.

平行四邊形的問題類型較多，但總體而言可以歸納為幾何證明、線段求值、綜合拓展等幾大類. 因此，在充分理解命題思路、剖析問題本質的基礎上，可以構建相應的解題模型. 利用解題模型來分析問題，可以有效地避開問題“陷阱”，直切問題根本[4]. 而在教學中，則需要教師引導學生關注解題模型的構建過程，調動學生的思維，運用相應的公式、定理完成模型的構建，引導學生善于提煉問題的條件、結論，并合理利用模型對其加以表征. 在構建的過程中，需要注意不能過于模型化，不能采用機械的知識灌輸方式，而應采用科學的探究策略，從問題的特征入手，剖析問題的本質內涵，提煉其中的關鍵信息，探索有效的構建策略，最后歸納解題思路，完成解題模型的構建.

在初中數學教學中，學生的思維發展應是教師關注的重點，整個課堂教學應以學生為主體. 無論是問題分析，還是模型構建，都應注重學生的思維體驗. 教學中，可以采用問題引導的方式，通過合理的設問，引導學生不斷地遞進思考，逐步幫助學生構建完整的模型探究思維鏈. 同時，在模型構建的過程中，注意合理滲透數學的思維方法，讓學生在構建模型中明晰所采用的思想依據，強化學生的數學思想，以問題探索為依托，促進學生綜合素養的提升.

參考文獻：

[1]倪春花. 從人教版“18.1.1? 平行四邊形”再踐“自學·議論·引導”之旅[J]. 數學教學通訊，2017（35）：11-13.

[2]林秋萍. 基于案例的“數學模型演繹”教學與反思[J]. 中學數學，2018（22）：37-38.

[3]馮玉娟. 在數學教學中初步建構數學模型的嘗試[J]. 中學數學教學參考，2018（z3）：49-50.

[4]陳光祥. “基本模型”專題復習的示例和思考[J]. 中學數學教學參考，2018（32）：31-33.