淺談文科生突破全國卷中的統計與概率大題

黃澤玲

（汕頭市黃圖盛中學，廣東 汕頭 515100）

概率與統計題是文科考生的弱題，得分率總是不高，主要問題有：從本題的第一觀感看，文字多，懼怕心理從開始就埋下了，學生常常看了后面忘了前面，以致于條件與條件之間的關系利用理解不當；再看其中考查的內容，統計知識相對抽象，可以說來源于生活又高于生活，情境背景一般很生活化，但更多的是從數學的角度分析解決問題，比如利用回歸直線模型模擬實際情況，達到預報的目的，又可以在預報的基礎上探討預報的精確程度，學生若不能理解其本質，會出現只會套用公式，而不能靈活處理的問題；計算量大，對數值的處理能力要求高，同時也很考驗學生的集中能力，稍一不注意，可能就算錯了某一數值。所以，該題不管是題目表達，還是思路整理，還是數值計算，都是相對要求高于學生能力的一道題目，對學生是一個重大的挑戰，如何培養學生提煉條件，理清邏輯關系，尋求數值的特征提高計算效率尤其重要。我認為可以從以下幾個方面進行學習突破：

一、首先從本質上理解本章知識，并挖掘其中的聯系，建構起知識體系。

（一）概率與統計的基本思想是以“樣本”估計“總體”，通過收集部分數據估計總體數據所包含的特點，因此結果具有隨機性，統計的結果有可能犯錯，但它又是一種重要的思維方式，不確定中有其“確定性”，這是數學更高層次的應用。

（二）概率是研究隨機現象的科學，隨機現象即在相同的條件下重復同樣的試驗，其試驗結果不確定，以致于試驗前無法預料哪一個結果會出現，隨機現象表面看無規可循，結果不可預料，但當我們大量重復試驗時，試驗的結果總會出現頻率的穩定性，概率教學的核心問題是讓學生了解隨機現象與概率的意義，缺乏對隨機現象的豐富體驗，學生往往難以建立隨機觀念，如果在概率的學習中，只是要求學生處理已經收集好的數據，學生往往習慣的把這些數據當做確定的數據進行處理，事實上他們的隨機觀念沒有得到發展，要使學生建立隨機觀念，可以通過設計學生熟悉而感興趣的實際問題或游戲，讓學生親自試驗，動手收集，讓學生逐漸豐富對概率的認識，從實際活動中體會隨機現象的特點。

（三）計算隨機事件發生的概率是概率學習的重要內容，在學習時，首要的是對各種概率模型的理解和應用，而不是把精力放在套用公式上，應注意使學生經歷從多個實例中概括出具體地概率模型的過程，體會這些例子的共同特點。

二、做題時，學會提煉條件，可以著重標出重要詞句，并通過分段歸納、或制作簡單的思維導圖理清其中的“量”與“量”之間的關系。例如：

分段歸納：

(2017·全國卷Ⅲ)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完。根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關。如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間20，25，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于需求量為200瓶。為了確定六月份的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數統計：最高氣溫在[10，15)有2天，[15，20)有16天，[20，25)有36天，[25，30)有25天，[30，35)有7天，[35，40)有4天。①

以最高氣溫位于各區間的頻率估計最高氣溫位于該區間的概率。

(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率。

(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)。當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率？

分析：（1）在題干中進行分段歸納

（2）第一步與需求量有關的頻率問題，先通過需求量和最高氣溫的關系，再到①中查找對應的頻數；第二步涉及利潤問題，可以從題干第一句中得到。

制作簡單的思維導圖幫助理清思路：

(2016·全國卷Ⅱ)某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續購買該險種的投保人稱為續保人，續保人本年度的保費與其上年度出險次數的關聯如下：上年度出險次數為0次，則保費為0.85a，1次則為a，2次為1.25a，3次為1.5a，4次為1.75a，大于等于5次為2a①

除產業布局相關政策之外，我國紡織服裝各行業也制定并發布了相關產業結構政策措施，使得紡織服裝產業的發展方向與方式更加明確。

隨機調查了該險種的200名續保人在一年內的出險情況，得到如下統計情況：出險次數為0的有60名，1次有50名，2次有30名，3次有30名，4次有20名，大于等于5次有10名。②

(1)記A為事件：“一續保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值。

(2)記B為事件：“一續保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”。求P(B)的估計值。

(3)求續保人本年度平均保費的估計值。

分析：（1）制作導圖讀懂題意：

（2）第一小題用頻率估計概率，于是在表2中找到相應的頻數；第二步是與基本保費

三、提高數據的處理能力。概率統計問題一般數據較大，“如何計算”也是復習的一個重要關注點。比如：

【2016年全國Ⅰ卷】某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得下面柱狀圖：

以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數。

（1）求E（Y）；

解析：

如果這樣算：

這樣處理方式計算量較大，且算錯的概率增加不少。

初學概率與統計時會覺得它抽象，但它是與日常生活緊密聯系的課程，從本質理解，逐步建立起統計思想，提高數據的收集和處理能力，是學好它的關鍵。