“行程問題”的解題方法與教學思考

倪方圓 吳希 鄭嘉楠

摘要：“行程問題”是小學奧數中一大基本問題，常見的“行程問題”有相遇/相離問題、追及問題等，根據不同類型，結合實例，歸納數量關系，總結解題方法。產生教學思考如利用數形結合，理清數量關系;創設問題情境，注重算理教學;滲透發展小學生代數思維。

關鍵詞：行程問題;解題方法;教學思考

一、“行程問題”的概念

“行程問題”是小學數學應用題中的重點也是難點，包括相遇、追及等數十種類型。按運動物體個數可分為一個物體的運動、兩個及兩個以上物體運動，按運動方向可分為相向、同向、背向。題型變化無窮，但實質不變，主要解決速度、時間、路程三個核心量的關系。這類題目理解難度不大，但是解題思路奇巧，解題過程靈活且有趣，本文試總結其解題方法，并探討蘊含其中的教學思考。

二、“行程問題”解題方法

“行程問題”解題關鍵是找到速度、時間和路程的關系進行計算，本文根據不同的類型歸納解題方法。

（一）相遇問題

兩個運動物體做相向運動，或在環形跑道上作背向運動，最終相遇的問題被叫做“相遇問題”。從相遇次數上分為一次相遇和二次相遇，從結果上分為求速度、求時間、求路程。

一次相遇實質是兩人共同走了A、B之間這段路程，所以在這一類問題中，存在如下數量關系：A， B兩地的路程=（甲的速度+乙的速度）×相遇時間=速度和×相遇時間。二次相遇問題的實質為第二次相遇時甲乙走的總路程是A、B兩地路程的兩倍，可得到數量關系：（A， B兩地的路程）X3=（甲的速度+乙的速度）×相遇時間=速度和×相遇時間。

（二）相離問題

相離問題與相遇問題的解題過程基本一致，只是運動方向為相背而行。這類問題中的數量關系為：兩地距離=速度和×相離時間。上述兩種行程問題，可以發現相遇（相離）問題中存在類似的數量關系，即：速度和×相遇（相離）時間=相遇（相離）路程。

（三）追及問題

兩個運動物體從不同地點出發，也可從同一地點出發（如環形跑道），方向相同，快的追及慢的。這樣的行程問題叫做追及問題，這類問題中一般存在這樣的數量關系：速度差×追及時間=追及（或領先）的路程 。

解題關鍵在于找出距離差、速度差、追及時間中的兩者，再根據數量關系求出第三者。例如題1：甲、乙二人在同一條路上前后相距9千米。他們同時向同一個方向前進。甲在前，以每小時5千米的速度步行;乙在后，以每小時10千米的速度騎自行車追趕甲。幾小時后乙能追上甲？乙追及甲的路程是9千米，甲、乙兩人速度差為5千米/小時，由“追及時間=追及路程÷速度差”求出追及的時間。

（四）過橋問題

過橋問題指一列火車通過一座橋/隧道，研究其車長、車速、橋長/隧道長，過橋/鉆隧道的時間等關系的一類應用題。在這類行程問題中，需關注車長，行駛的路程一般為隧道長/橋長加車長。因此存在這樣的數量關系：橋長+車長=路程;平均速度×過橋（隧道）時間=路程。解題關鍵在于在車長和參照點的長度關系中得到行駛的路程，再根據上述數量關系求解。

（五）行船問題

流水行船問題需要掌握的數量較多，除時間、路程外，還要注意船的順水速度或逆水速度，靜水速度，還有水流速度。要解答行船問題，需要掌握以下幾個數量關系：船速+水速=順水船速;船速-水速=逆水速度;（順水船速+逆水船速）÷2=船速;（順水船速-逆水船速）÷2=水速;順水船速=逆水船速+水速×2。解決行船問題，關鍵是至少找到水速、凈水速度、順水速度或逆水速度中的兩個，再根據上述數量關系進行求解。

三、“行程問題”中的教學思考

（一）數形結合——理清數量關系

行程問題涉及多個數量，且數量關系有時較為復雜，因此“畫行程圖”是幫助學生理清數量關系的好方法。運用數形結合的思想，將問題化抽象為具體。如在例題1追及問題中，可畫出如圖一的線段圖，并從中看出甲追及的路程就是甲、乙前后相距的路程。

數形結合，巧妙地將文字表述轉化成圖形表述，從而使學生直觀具體地感受題中的數量關系，符合小學生具體形象邏輯思維能力的特征。在進行這類題目的教學時，要先帶領學生畫圖分析，直觀感受行程問題中的特殊數量關系。理清數量關系后，再構建關系式進行求解，行程問題就能迎刃而解。

（二）問題情境——注重算理教學

小學生的抽象思維能力還不強，因此需要創設生活情境來幫助理解。以學生的原有經驗和對生活的感知為基礎，加深鞏固學生對這三個核心數量及它們之間關系的認識，在具體情境中進一步理解行程問題中各個量的生活意義。

如題“烏龜和兔子兩家在同一條直線上，相約同時從各自家出發參加森林運動會，烏龜每小時2千米，兔子每小時30千米，5小時后它們相遇。那么烏龜和兔子兩家的距離是多少？”烏龜和兔子的方向是不定的，需要分類討論，讓學生意識到速度是具有方向的，要在具體的情境中了解各個數量的含義。因此教師要注重問題情境的創設，在實際情境中幫助學生理清算理，才能真正培養分析、解決問題的能力。

（三）用方程解——發展代數思維

小學生在相當長的時間里以算術思維為主，并向代數思維發展。代數思維的形成可以降低數學思考的難度，在解決行程問題時通過設置未知數，構建數量關系等式，解方程直接得出答案。

在小學階段，算術方法和代數方法各有所長。但是教師在進行教學時，應有意識地發展學生的代數思維，利用線段圖理解數量關系，構建等量關系列方程，引導學生建立代數思維。