強化數學概念，提高初中數學教學效率的策略

藍偉興

【摘要】數學概念是數學知識的靈魂，是學生理解數學、喜歡數學、學好數學的前提，是學生理解數學定理、推導數學公式、掌握數學運算法則的基礎，沒有重視數學概念，一切課堂教學都是低效甚至是無效的教學。本文結合本校生源比較薄弱的實際情況，談談在教學中強化數學概念的四個策略探究。

【關鍵詞】初中數學；創設情境；轉換角度；抓住本質；反復訓練

一、創設情境，產生概念

“教學情境是指在課堂教學中，根據教學的實際內容，為實現三維目標所設定的，能產生一定情感反應，并且能使學生主動積極參與建構性學習的，具有學習背景和學習活動條件的學習環境。廣義來說，是指作用于學習主體，產生一定的情感反應的客觀環境。從狹義來說，則指在課堂教學環境中，作用于學生而引起積極學習情感反應的教學過程。”在課堂教學中，如果教師能夠聯系學生非常感興趣的例子，即使那些經常打瞌睡的學生也會抬起頭，用興奮和期待的眼光看著老師和屏幕。知識本身具有豐富生動的實際內容，而表征它的語言（包括文字語言、符號語言和圖形語言）則是高度抽象的。所以創設教學情境，猶如湯中加點鹽。鹽只有溶入湯中，才能被吸收，知識只有融入情境之中，才能顯示出活力和美感。“在教學中如何創設情境，突出數學概念的形成過程，凸現數學思想方法，讓學生領悟數學概念的本質，是教學中不容忽視的問題。”

創設教學情境的方式很多，可以是實驗創設、故事創設、問題創設、科技史話創設、生活常識創設、語言描述創設、典型事例創設、活動創設、媒體創設、時事熱點創設、角色扮演創設，等。在《橢圓及其標準方程》這一課的教學中，有些老師通過讓學生觀看衛星發射的軌跡引出橢圓的概念，使學生對本節課產生了極大的興趣，有些老師通過讓學生動手畫橢圓的方程，從而引出橢圓的概念。這兩種引入方式都是重視數學概念的結果，因此取得了很好的教學效果。然而有些老師只是叫學生自己閱讀書本上的探究，然后在黑板上把橢圓的概念寫出來或在PPT上直接投影橢圓的概念，最后讓學生讀兩次，這樣就完成了橢圓概念的教學，結果很多學生對橢圓的概念還沒有弄清楚，就要繼續學習橢圓的標準方程，后面的課堂練習也就沒有信心完成了，這樣的課堂教學是低效的甚至是無效的。創設課堂情境的方法有很多種，可以通過創設與概念密切相關的問題或問題串引出概念，可以通過觀察實驗引出概念，也可以通過學生的動手操作引出概念。所謂“磨刀不誤砍柴工”，花8到10分鐘時間展現數學概念的發生發展過程，讓學生真正理解概念，對于后續的學習是非常有必要的。

當然，不恰當的教學情境會使學生對數學概念產生誤解，所以創設教學情景必須慎重，不能為了激發學生的學習興趣而隨意創設一些與數學概念關系不大甚至是無關的教學情景。

二、轉換角度，理解概念

“杜賓斯基認為，學生學習數學概念需要進行心理構建，只有在自身已有知識、經驗的基礎上，主動建構新知識的意義，才能達成理解”。在《集合的基本運算》這一課的教學中，并集概念是本節課的重點，更是本節課的難點，如何讓學生理解并集的概念呢？教材中通過思考題引出并集的概念，這是一種很好的引入方式，教師可以通過啟發式教學幫助學生理解并集的概念，通過多次轉換角度引導學生掌握并集的概念，下面是我的課堂教學實錄：

教師：實數有加法運算，類比實數的加法運算，集合是否也可以相加呢？

學生：不知道

教師：大家觀察下面三個集合之間有什么關系？A={1，3，5}，B={2，4，6}，

C={1，2，3，4，5，6}

部分學生：集合A和集合B中的元素全部都在集合C中。

教師：（微笑，不說話）

部分學生：集合C中的元素都可以在集合A或集合B中找到。

教師：（微笑著說話）同學們的觀察能力很強，回答得非常好！大家再看看下面三個集合之間又有什么關系？A={x|x是有理數}，B={x|x是無理數}，C={x|x是實數}

個別學生：集合A和集合B中的元素全部都在集合C中，集合C中的元素都可以在集合A或集合B中找到。

其他學生：對，果然是這樣。

教師：同學們回答得很好，上面兩個問題中，集合C是由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的。那么集合C與集合A，B之間形成一種什么樣的運算呢？

學生：不知道

教師：這種運算可以叫做并集運算，上述兩個問題中，集合C就是集合A與集合B的并集。集合A與集合B的并集可以用什么數學符號表示呢？

學生：不知道

教師：集合A與集合B的并集可以用數學符號記作“ A∪B”。那么 A∪B怎么讀呢？

學生：讀作“A并B”。

教師： A∪B表示什么意思？

學生：表示集合A與集合B的并集。

教師：回答正確，那么，什么叫做集合A與集合B的并集？

學生：由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合叫做集合A與集合B的并集。

教師：回答得很好！（微笑點頭）那么 A∪B用數學符號怎么表示呢？請李煜同學到黑板寫出來。

學生：（在黑板上寫） A∪B={x|x∈A，或x∈B}

教師：寫得很好！那么，能不能用Venn圖來表示A∪B呢？請張春紅同學到黑板上試著畫一畫.

學生：（在黑板上畫）

教師：我們來根據并集的概念完成下列題目：

（1）設A={x∈N|1≤x≤3}，B={x∈N|2≤x≤5}；求A∪B；

（2）設A={x|1≤x≤3}，B={x|2≤x≤5}；求 A∪B。

教師通過不斷地轉換角度，引導學生通過并集的符號理解、圖形理解，文字理解來掌握并集的概念，然后通過由淺入深的例題加深概念的理解。在概念的教學中，如果能夠通過不同的角度去引導學生，不但可以培養學生的發散思維，而且可以使學生對概念的理解更加深刻，記憶更加持久。相反地，如果僅從單一的角度去進行數學概念的教學，會讓學生感覺數學很枯燥，而且無法調動學生學習的積極性和學習熱情，學生對數學概念的記憶僅僅停留在思維的表層。

三、抓住本質，掌握概念

數學概念反映的是一類具有共同屬性的事物能區別于其他事物的全體，任何一個數學概念都有它確定的含義以及所確定的對象范圍，這就是數學概念的內涵和外延。只有抓住數學概念的要點，才能理解數學概念的本質，從而掌握數學概念。例如，橢圓的概念產生以后，教師就要通過啟發式提問讓學生掌握橢圓定義中的五個要點：1.橢圓是平面圖形，不是空間圖形；2.動點只有一個；3.定點有兩個；4.動點到兩定點距離之和等于定長；5.動點與兩個定點能構成三角形。有些概念容易混淆，較難理解，我們可以通過概念對比加深概念的外延理解，從而加深數學概念的理解。例如，通過等差數列與等比數列的概念對比，橢圓與雙曲線的概念對比，交集與并集的概念對比等等。通過概念的對比，容易抓住概念的要點，使學生更好地理解概念。平面曲線的切線概念是高中數學的一個重點，同時也是一個難點。理解平面曲線的概念必須抓住四個要點：1.平面曲線的切線是一條確定的直線；2.當平面曲線是函數的圖象時，平面曲線在切點處的導數就是該切線的斜率；3.切點既在切線上又在曲線上，即切點的坐標同時滿足切線與曲線的方程；4.函數的圖象在某點處的切線與該函數的圖象可能不止一個公共點，所以不能用判別式求切線方程。“作為定義的一種描述，就是要揭示概念的本質特征，‘割線的極限’作為平面曲線的切線定義，所反映的對象指一切平面曲線。”

概念課的教學不能簡單地用“一定義、二要點、三注意”的形式講完就好了，“數學教學是數學活動的教學（思維活動的教學），而不僅是數學活動的結果（數學知識）的教學。”所以抓住概念的要點固然重要，但不是老師直接告訴學生，而是通過教師的啟發和引導，讓學生主動參與，積極思考，師生共同歸納出概念的要點，從而對概念產生正確的認識。

四、反復訓練，鞏固概念

心理學上認為，記憶一個抽象的知識，一般要重復7次，如果要持久記憶，需要重復14次甚至70次。數學概念的理解，需要一個循序漸進的過程，在數學概念教學中，我們要停留幾秒鐘甚至幾分鐘讓學生自由朗讀概念，記憶概念，消化概念，然后再通過列舉一些具體的例題或練習幫助學生加深概念的理解，從而掌握概念。在學生初步理解并集的概念以后，筆者在PPT投影中給學生訓練了下面幾道題：

練習1，所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合叫做___________；

練習2，集合A與集合B的并集可以用數學符號表示為___________；

練習3，A∪B可以讀作_______。

例1，設A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B；

例2，設集合A={x|-1

例3，設集合A={x|-13}求A∪B。

筆者設置練習力求從簡單到復雜，從具體到抽象，力求符合循序漸進原則和“小步子”原則。這樣設置練習，既有利于培養學生的自信心，又有利于分層教學的實施，更重要的是，通過這樣的練習，學生不但可以理解數學概念，而且可以掌握數學概念。在《現代心理學綱要》一書中，詳細地介紹了記憶術的六種記憶方法，而重復記憶法是一種很常用的記憶方法。心理學上認為，人的記憶重復了一定的次數，就能產生持久的記憶。同樣地，一個數學概念通過不同的角度，讓學生反復閱讀，反復訓練，學生會不斷加深對數學概念的理解，逐漸熟悉數學概念。對于某些抽象的數學概念，使用反復閱讀，反復訓練的方法，的確是一種很好的方法。例如，對數的概念：設ax=N（a>0且a≠1），則x=logaN（a>0，且a≠1），這里，我們把x叫做以a為底N的對數，a叫做這個對數的底數，N叫做這個對數的真數，x就是這個對數，用logaN來表示， 不是數字，就像根號“”一樣，僅僅是一個符號。在課堂教學中，筆者讓學生先理解這個概念的內涵，接著進行一系列的具體例子反復訓練。結果，連班上的倒數第一名都熟悉了對數的概念，無論是文字還是符號表達，他們都能迅速作出反應，一直持續到高三，他們依然對logaN非常熟悉。這種訓練方法很枯燥，也很低效，但對于一些抽象而且極端重要的數學概念，我們不得不出此下策。反復訓練，僅僅是為了讓學生熟悉數學概念。

數學概念是數學的核心知識，學生要掌握數學的定理、公理、性質、法則、公式，要掌握常用的數學解題方法，理解常用的重要數學思想，首先必須理解數學概念。數學概念是學生入門的基礎，學生放棄數學，是從不理解數學概念開始的，學生喜歡數學，是從理解數學概念開始的，本文只有一個目的，就是希望廣大數學教師從小學開始重視數學概念的教學，讓更多的學生喜歡數學，避免學生放棄數學。

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