關注邏輯 尋求本質

張永華

【摘要】數學的教學過程是人認識知識本質的過程，在這個過程中并存著教師的教學過程，知識的發生、發展過程以及教師與學生的思維活動過程，這些過程實際上都是教學中客觀存在的邏輯過程，它必然存在著思維層面的規律和方法。作為教師，應在進行教學前，要能夠明確數學知識的內在邏輯，了解學生的認知邏輯，并注重教學的設計邏輯。這樣我們的課堂教學才能引導著學生去探尋學科的本質。

【關鍵詞】小學數學；邏輯；本質；教學思考

2018年11月27-29日，作為廣東省陳曉燕名教師工作室團隊中的一員，筆者有幸參加了在浙江湖州新世紀外國語學校舉辦的“成長課堂”第四屆小學數學課堂教學觀摩研討活動。27日一開始是《平面圖形的面積》一課，本節課對教材內容進行了重構，把“平行四邊形的面積”“三角形的面積”“梯形的面積”三個課時的內容整合在一節課中，老師僅提供方格紙和四類圖形，以長方形的面積為研究基礎，讓學生自主選擇研究內容和方法，完整經歷研究其它圖形面積的過程。雖然40分鐘沒有完成傳統意義上所謂的“教學任務”，但在后面劉加霞教授介紹了她們的研究和思考時，基于單元整體研究設計教學的理念和視野給了我們深深的震撼。劉教授講到這節課為什么摒棄傳統的“割補、剪拼”法，只采用方格紙作為研究工具，她們除了大量的學生研究實證數據外，還基于對“度量”的本質的深度思考；而平行四邊形、三角形面積公式的研究是否一定要按現行教材編寫的序來展開教學？他們通過比較古今中外各版本教材，發現其并不需要強調先后順序，可由學生自主選擇，先研究誰、后研究誰并不違背知識邏輯和認知邏輯……劉教授在報告中也特別提到：“單元教學”研究，其根本是把握“三邏輯”：數學知識的內在邏輯、學生認知的思維邏輯、教師教學的設計邏輯。而這三個邏輯作為數學教學研究的根本，在我們的日常教學中其實也應該去關注，基于此，筆者對《烙餅問題》一課有了如下思考。

一、數學知識的內在邏輯（明確這節課究竟該教什么）

教學的邏輯首先是知識的邏輯。教學的展開都是以知識為載體的，而知識是有邏輯關系的。知識邏輯其實就是回答教學“教什么”的問題，它是教學活動中最具實質性的要素。《義務教育數學課程標準（2011版）》中提出：“通過義務教育階段的數學學習，學生能夠獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經驗。”數學思想方法是數學知識的重要組成部分，也是一個人數學素養的基本內容。讓學生初步感受一些基本的數學思想方法是“數學廣角”的主要教學目標之一，而人教版教材就是通過“數學廣角”這個知識載體來更好地體現并達成目標。因此，數學廣角的教學首先應定位于通過數學活動，讓學生感受數學的思想方法，學會運用數學思想方法嘗試解決問題，體驗解決問題的策略、方法。而烙餅問題一課作為其中的教學內容之一，和這之前的沏茶問題一樣，就是讓學生體會在解決問題中優化思想的應用。在烙餅問題的教學中，教科書上的例題設計了兩個問題：“怎樣才能盡快吃上餅？”和“哪種方法比較合理？”，都是圍繞“優化”在探究問題。所以本節課的教學數學思想方法的感悟才是它的本質，而非只是解決“至少需要多少分鐘？”的問題。

二、學生認知的思維邏輯（明確這節課為什么這樣教）

小學生的思維是從具體形象思維逐步過渡到抽象邏輯思維，但他們的抽象邏輯思維在很大程度上仍是直接與感性經驗相聯系的，具有很大成分的具體形象性。只有了解了學生認知的思維邏輯，才能讓我們清楚的知道“為什么要這樣去教”的道理。所以根據此特點，對本節課進行了如下分析：

“烙餅問題”在教材中的信息內容一共包含了四點。

1.烙餅的條件：要烙3張餅，每次最多可以烙 2張，兩面都要烙，每面3分鐘。這些信息通過閱讀和后面演示、操作等方式學生還是容易理解。

2.通過為什么烙 2 張餅和烙 1 張餅都用6分鐘的問題，讓學生明白兩張餅是同時烙的，因此，鍋在沒閑下來的時候，就充分利用了資源，這樣時間就節省了。此環節烙餅1張和2張對學生來說并不太難，通過演示或操作都能達到目的。但本環節不能僅僅停留在操作層面，還需讓學生用符號、圖形或文字等表征形式將操作以及思維的過程記錄下來，為后面研究3張烙餅打好堅實的基礎。

3.烙3張餅怎樣烙最省時。教材中包含著烙3 張餅有多種方式的信息，學生思維會呈現不同的方式，體現多樣化，這也是本節課的認知難點。教師可以引導學生利用烙2張餅的記錄方法記錄下自己烙3張餅的思維過程，然后進行小組交流后匯報展示，當然匯報時需注意學生認知的思維邏輯，即先匯報大部分學生都能理解的18或12分鐘的烙法，再匯報9分鐘的烙法，這樣尊重了孩子的認知起點，也有利于學生領悟“烙餅問題”的內涵。強化難點突破的過程、揭示難點突破的思維合理性。

4.探索烙更多張餅（如4 張、5張、6張等）最節省時間的方法。此時學生還會停留在動手或利用符號化、圖形化的表征的方式來進行研究，為了提高學生的思維，所以教師需指導孩子利用剛才研究的烙2張和3張的時間這個已有的經驗來解決后面這些新的問題，如果有時間的話還可以通過表格的方式將時間列出來，讓學生從中發現規律。

基于學生這樣的思維邏輯，筆者對本節課進行了如下設計。

三、教師教學的設計邏輯（明確這節課到底該怎樣教）

1.創設情境

創設廚師爭霸賽的情境，明確比賽的規則：烙相同張數的餅，最省時間者為勝！比賽要求：每次最多只能烙2張餅；兩面都要烙，每面3分鐘。

通過有趣情境，激發學習興趣，了解烙餅的條件。

2.烙1張餅和2張餅

因為1張餅的烙法對于學生來說很容易，所以采用視頻播放兩位選手烙1張餅的情況直接演示。而2張餅因有2種不同的烙法，這時教師可選擇一個采用一張一張烙方法的學生先上臺來借助學具進行操作，引發爭議，再通過為什么烙 2 張餅和烙 1 張餅都用6分鐘的問題從而得出2張同時烙會更省時。在此基礎上，引導學生學會用文字表征的方法記錄操作及思維的過程，如，①1正2正②1反2反，為后面記錄3張餅的操作過程打好基礎。最后為加強印象，用課件演示兩位選手同時烙2張餅的過程，也呼應了教學情境。

3.烙3張餅

對于學生來說，3張餅的省時烙法是很難理解的，而且在實際生活中并不采用這種方法，沒有足夠的生活經驗來支撐整個思路。所以這一環節利用“烙3張餅，怎樣烙最省時間？”這一大問題讓學生同桌為一組借助學具分工烙，一人烙一人記錄，如有不同想法時再進行交換的方式來處理這個環節。此時教師應該及時巡視各組烙餅的實際情況，便于匯報時有序的展示孩子的思維過程：第一個展示的應該是烙了18分鐘的，如果沒有出現這種情況那就讓烙12分鐘的情況進行匯報，等到這些情況匯報完自然就會有孩子對9分鐘的情況進行補充。通過孩子的匯報以及文字的表征①1正2正②1反3正③2反3反之后，再一次操作來強化這一過程然后利用課件演示兩位選手烙3張餅的兩種不同過程，通過這幾次的強化幫助全體學生打開思路，學生的思維也得以激烈的碰撞，有效的突破了難點。這時順勢提出“9分鐘的方法時間省在哪了，關鍵是在哪一步？”這一問題，通過對兩種烙法的比較，不僅讓學生得出省時的方法就是每次總烙2張餅，別讓鍋有空余；而且讓學生明確省時關鍵是在第二步，只有在這一步采用了交替烙，才能讓鍋不閑著，最終才能省時，以此來培養學生的優化意識。

4.探索烙更多張數餅最省時間的方法

在接下來烙其它張數的餅的教學中，不再停留在動手操作和文字表征的方式來進行研究，而是讓學生思考“什么情況下可以仿照烙 2 個餅的方法來烙餅呢？”，從而得出烙雙數個餅時可以使用此方法。而單數餅的烙法通過推理得出先分出3張一組的情況，再用2張餅的烙法來烙，充分借助烙2張和3張餅的方法這個已有的經驗來解決后面這些新的問題，最后還可以通過表格的方式將時間列出來，讓學生從中發現規律。這樣充分體現了從特殊到一般的學習過程，學生結合生活經驗，類比遷移得出的結論——這里既有數學抽象，也有推理。

鄭毓信教授曾談到：“優化問題”的教學，主要涉及了這樣三個問題：第一，什么？（如何）即什么是所謂的“最佳方案”？第二，為什么？即這為什么可以說是“最佳方案”？第三，怎么樣？就是我們如何能對此作進一步的發展？包括對于相應的普遍性規律的探究，以及如何能夠達到更深層次的理解，等等。很多時候，我們往往都只關注學生“可以怎樣優化”，而很少會讓學生思考“為什么可以這樣優化，優化的根本原因是什么，這里有什么規律。”這一做法顯然是與我們所一貫提倡的“理解學習”直接相違背的。所以，我們教師完全可以通過把握“三邏輯”：數學知識的內在邏輯、學生認知的思維邏輯、教師教學的設計邏輯，進一步調整自己的教學，讓我們的學生去尋求數學的本質。

參考文獻：

[1] 張鶴.數學教學的邏輯.http：//www.sohu.com/a/77727978_387173？qq-pf-to=pcqq.c2c.

[2] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[3] 鄭毓信.“優化問題”與“優化思想” [J].教學月刊小學版，2013（7-8）：4-6.