淺談優化數學歸納法的概念教學

尤園飛

數學歸納法是中學數學的重要數學方法之一。學習了數學歸納法之后，有學生曾說：“反正老師說完成兩個步驟就正確。我也不知道為什么正確，也勿需去考慮它為什么正確”。所以這些學生在解決問題時往往忽視了數學歸納法的應用而束手無策，或者在完成第二步驟時，由于缺乏自信心而半途而廢。這與是否注重概念的過程教學密切相關。數學歸納法概念的教學，首先要通過實例使學生體會到歸納法的基本思想，如從對學生熟知的等差數列通項公式的歸納過程著手，拉開序幕。并指出：像這種“由特殊到一般”的推理方法叫歸納法。這樣的歸納推理是認識上的一個“飛躍”。再講一個“王二上學的故事”：第一天教師教“一”，并劃了一橫杠，王二記住了;第二天老師教“二”，并劃了兩橫杠，王二又記住了;于是王二就預料，第三天老師要教“三”，并要劃三橫杠，第三天果然如此。到了第四天，王二對父親說：“從今天起我不再上學了，我都會了。”父親說：“為什么這么快呢？”王二說：“就是劃橫杠嘛”。父親說：“我的孩子真聰明。”碰巧父親的一位朋友來了，父親說：“我這位朋友叫萬百千，你能把他的名字寫出來嗎？”王二驚呆了，并說：“這個名字要花費多少時間才能寫完哪！”王二這個歸納推理是錯誤的可笑的。上述兩個實例告訴我們，同樣用的“歸納法”，一個結論正確，一個結論錯誤。這就是說，僅僅考察部分特例而得出一般結論的推理方法，所得結論不一定正確，通常稱為不完全歸納法。那么歸納推理在什么條件下才是可靠正確的呢？

讓我們來做一個游戲，這個游戲曾在中央電視臺演播過，不妨稱為“擺磚游戲”。我們把很多很多磚塊按照“前磚碰倒后磚”的規格來擺放，從教室擺到操場，再擺到公路上，再擺到香港，再擺到外國……，甚至可以沒完沒了的擺下去。那么，我們只要推倒第一塊磚，就能把所有的磚塊全部推倒。這個游戲有兩個條件：第一，要推倒第一塊磚;第二，磚塊必須按照“前磚碰倒后磚”的規格來擺放。顯然，這兩個條件缺一不可。如果缺少第一個條件，就會有磚沒有被推倒（至少第一塊磚沒有推倒）。如果缺少第二個條件，“碰倒過程”就會中斷，就會有很多很多磚塊沒有推倒。

從上面的“思維游戲”啟發我們得出一個處理與自然數有關問題的方法：

（1）處理第一個問題（相當于推倒第一塊磚）;

（2）驗證前一號問題與后一號問題有傳遞關系（相關于前磚

碰倒后磚），這時主角亮相了。數學歸納法是可靠正確的推理方法。介紹了數學歸納法之后，師生共同參與，按以下設問進行教學：

1.第一步驟是遞推的基礎，第二步驟是遞推的依據。若二者缺一將會出現什么問題呢？能舉出實例來嗎？

2.完成第一步驟后，在第二步驟中，假設n=k時的結論正確，這樣的k值是否存在呢？證明N=K+1時結論也正確，是否起著“傳遞性”的作用？

3.第二步驟中，如果不使用N=K時結論正確這個條件，直接證明N=K+1時結論正確，是否還是數學歸納法呢？或者說比數學歸納法更好呢？

4.第一步驟中，證明N取第一個值結論正確，這第一個值從哪里取起呢？

5.第二步驟中，在使用N=K時結論正確的前提下，可以用哪些方法來突破N=K+I時結論正確這一關呢？（如：演繹法、分析法、反證法等）。

6.數學歸納法是針對n∈N而言的.那么N取非自然數時，是否也可以呢？

針對學生在概念的學習中容易出現的問題：錯誤理解、認識膚淺、似是而非、掌握不牢等現象，教師要精心創設情景，優化教學手段，以達到對概念的理解、認識到位，對概念的掌握準確、牢固、靈活之目的。同時，行之有效地培養了學生思維的批判性和深刻性。

掌握了數學歸納法的原理和證明格式后，還需要進一步認識數學歸納法和歸納法這兩種推理方法之間的區別和聯系，初步形成“觀察——歸納——猜想——證明”的思維方法，既能發現結論，又能證明結論的正確性。這又是培養學生的發現創造能力、分析問題和解決問題能力的重要內容。

優化概念教學的實質就是充分展示概念的形成、深化過程以及它的本質屬性。它為學生牢固掌握概念、靈活運用概念創造了條件，它為培養學生的數學觀念、提高學生的數學能力，幫助學生形成良好的思維品質，造就力求創新開拓進取的英才，打下了良好的基礎。