例析“等時圓”在物理中的妙用

葉向忠

摘 要：物理學科的中心素養，是學生在承受物理教育過程中逐步形成的順應個人畢生發展和社會發展需求的必備品格和關鍵能力，是學生通過物理學習內化的帶有物理學科特性的品質，是學生科學素養的關鍵成分。其中“科學思維”是提升物理核心素養的重要一環，而物理建模、物理思維是發展科學思維的一大捷徑，因而想更直觀、簡約地解決物理問題，常把復雜的實際問題轉化并抽象成簡單地“物理模型”，在分析和解決物理問題時，一般都是在已經把握的“物理模型”的啟發下找到解決物理問題的思緒與方法。所以在平時的教學過程中加強“物理模型”的建立與應用是至關重要的，這也是提升學生物理學習力、培養學生物理核心素養的重要渠道。本文就以“等時圓”這一物理模型的建立與在物理中的應用來闡明如何幫助學生建構物理模型，并加以拓展、轉化應用，發展科學思維。

關鍵詞：物理模型;等時圓;建模;應用

物理模型是對實踐成果的抽象，每一個模型的建立都有必然的條件和實用領域，在學習和運用物理模型解決物理問題時，最重要的一個環節是把實際問題簡化成相應的物理模型，借助由根本物理規律所構建成的一些基本物理模型，可以把抽象問題具體化，把復雜問題簡單化，從而使物理問題便于理解和接受，化難為易，化繁為簡，達到意想不到的效果。下面就以“等時圓”模型為例，體會如何通過巧妙地構建物理模型達到簡化求解，基于此對“等時圓”的規律和應用從三方面加以闡述：分別是動力學中的“等時圓”，磁場中的“等時圓”及光學中的“等時圓”。

動力學中的“等時圓”

模型建立

如圖1所示，A為豎直平面內圓周的頂點，AB為豎直直徑，質點從A點靜止釋放，沿著不同的光滑弦到達圓周上的時間相等，此圓稱為“等時圓”，該圓就是重力場中的“等時圓”

證明：設某一條弦AC與水平方向的夾角為α，圓的直徑為d（如圖1）。根據物體沿光滑弦作初速度為零的勻加速直線運動，加速度為a=gsinα，位移為s=dsinα，所以運動時間為

顯然t與α無關，即從A點沿不同的光滑弦到達圓周上的時間相等，且等于從最高點A自由下落到B點的時間，這個叫做圓的自由弦的等時性，即沿各條弦運動具有等時性，運動時間與弦的傾角、長短無關。同理，如圖2所示情形，從圓周上不同的點沿光滑弦滑到圓周上的最低點B，所需的時間也相等（證法同上），需要說明的是，等時圓中的端點應是幾何空間的最高點或最低點。

模型適用條件

“等時圓”的適用條件是：在重力場的豎直平面內任意的一個圓上，質點從幾何最高點（或圓周上）沿任何一條弦無摩擦下滑到圓周上（或幾何最低點）發生的時間相等。

模型應用

借助“等時圓”模型，可以使抽象問題具體化，復雜問題簡單化，方便于學生理解和接受。利用“等時圓”模型可以巧妙、方便地解決相關問題，它常用于以下幾種情況。

能直接觀察到的等時圓

例1：如圖3所示，通過空間任一點A可作無限多個斜面，若將若干個小物體從點A分別沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時滑下，那么在同一時刻這些小物體所在位置所構成的面是（ ）

A.球面 B.拋物面 C.水平面 D.無法確定

解析：由“等時圓”可知，同一時刻這些小物體應在同一“等時圓”上，所以A正確。

確定運動路徑

有些問題我們不能直接觀察出來，有時需要運用等效、類比來構建“等時圓”。

例2：如圖7，AB是一傾角為θ的輸送帶，P處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚，在P與AB輸送帶間建立一管道（假設光滑），使原料從P處以最短的時間到達輸送帶上，則管道與豎直方向的夾角應為多大？

解析：常規的解法就是利用解析法進行求解：設P點到斜面的垂直距離為PC，P點與傳送帶的位置確定后，PC就是一個定值，原料沿最快管道PD下滑的加速度為a=gcosβ，有：

在ΔPDC中，有，則

由數學知識可知，當時，t有最小值

若借助“等時圓”，如圖4所示，可以過P點的豎直線為半徑作圓，要求該圓與輸送帶AB相切，如圖所示，C為切點，O為圓心。顯然，沿著PC弦建立管道，原料從P處到達C點處的時間與沿其他弦到達“等時圓”的圓周上所用時間相等。因而，要使原料從P處到達輸送帶上所用時間最短，需沿著PC建立管道。由幾何關系得：PC與豎直方向間的夾角等于θ/2。

比較以上兩種解法，可以看到利用“等時圓”解題要比解析法來的直觀、簡潔、快速。

3、比較運動快慢（計算運動時間）

例3：兩光滑斜面的高度都為h，OC、OD兩斜面的總長度都為l，只是OD斜面由兩部分組成，如圖8所示，將甲、乙兩個相同的小球從斜面的頂端同時由靜止釋放，不計拐角處的能量損失，問哪一個球先到達斜面底端？

解析：（解法1）本題采用v-t圖象求解，作出物體分別沿OC、OD斜面運動的v-t圖象（如圖9），由圖可得乙球先到達斜面底端。

解法2：構建如圖10所示的等時圓，交OC于A點，交OD于B點。由“等時圓”可知，tOB=tOA，由機械能守恒定律可知，VB>VA，VC=VD，所以VBD>VAC，又因為兩斜面的總長度相等，故XBD<XAC，所以有tBD<tAC，有t乙<t甲，即乙球先到達斜面底端。

解后反思：對于涉及豎直面上物體運動快慢、運動時間的比較、計算等問題，可考慮用“等時圓”模型來求解，會更直觀、高效，激發學生的思維，提升建模的能力，給學生帶來意想不到的效果。

磁場中的“等時圓”

模型建立

如圖11所示，在xoy平面內有垂直于xoy平面的勻強磁場，坐標原點O處有一粒子源，在某時刻發射出大量同種帶電粒子，它們的速度大小相等，方向均在xoy平面內，與y軸的正方向的夾角分布在0--3600的范圍內。則在任一時刻這些粒子都在同一個圓上，此圓稱為磁場中的“等時圓”。

證明：設帶電粒子的質量為m（不計重力），電量為q，速度為v，勻強磁場的磁感應強度為B，那么帶電粒子在洛倫茲力的作用下作勻速圓周運動，運動軌跡如圖11實線所示：

經過時間t，任一粒子到圓心O點的距離均為：，將所有粒子所在位置用一曲線連接起來，這就是我們所說的“等時圓”，如圖11虛線所示。

應用例析

例4：如右下圖所示，在0≤x≤a，0≤y≤a/2范圍內有垂直于xy平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B。坐標原點O處有一個粒子源，在某時刻發射大量質量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy平面內，與y軸正方向的夾角分布在0～90°范圍內。求最后離開磁場的粒子從粒子源射出時的。

（1）速度的大小;

（2）速度方向與y軸正方向夾角的正弦。

分析：本題的難度是：學生分析不出最后離開磁場的粒子究竟是哪一個粒子，其運動軌跡有什么特征？如果運用“等時圓”模型就能迅速化解此難點。

解析：畫出三個半徑相等且滿足的“抽樣”軌跡圓，如圖19實線所示，讓帶電粒子分別從矩形勻強磁場的上邊界、右邊界、下邊界的三個不同段射出，每個“抽樣”軌跡圓與邊界的交點即為帶電粒子出磁場的點，以右邊界上的出射點為圓周上的一點，O為圓心，畫出一個“等時圓”，如圖12虛線所示;同理，以與磁場的上邊界相切的出射點為圓周上的一點，O為圓心，畫出一個“等時圓”，如圖13虛線所示;由此可以輕松的判斷出：運動軌跡與磁場上邊界相切的粒子在磁場中的運動時間最長。

解析：設粒子的發射速度為v，粒子做圓周運動的軌道半徑為R，粒子在磁場中的運動時間為t，根據洛倫茲力提供向心力：有：

如圖14所示：依據題意，有，∠OCA=900，由幾何關系可得： 得：，則有：

3、評析：

學生在求解本題時，難點是不能找到問題的突破口，也就不能分析得出結論：在磁場中運動時間最長的粒子，其軌跡與磁場的上邊界相切，運用“等時圓”模型能清晰找到此臨界情況，從而克服難點。

光學中的“等時圓”

1、模型建立

如圖15，一束平行光經平面界面折射后仍為平行光，對入射光束作垂直平面AB，這是入射光的一個波面;對折射光束作垂直平面A′B′，這是折射光的一個波面.那么各光線從一個波面傳播到另一個波面所經歷的時間是否相等？

分析：由折射定律可得：

設光束邊緣的兩條光線在兩個波面間傳播的距離分別為x1，x2，所以有：

，可得即：t1=t2

結論：當一束平行光發生折射時，各光線從一個波面傳播到另一個波面的時間相等。這是單色光的等時性，對于單色光的直線傳播及反射也同樣成立。那對于復色光呢？有怎樣的結論？

如圖16所示，一束白光PO從真空斜射入某種介質中，入射點為O，發生折射后，各種單射光在相同的時間內從入射點開始到達的位置均在一個幾何圓周上，此圓稱為“等時圓”。

證明：在O點的右側介質界面上任取一點N，作以ON為直徑的半圓。設白光折射色散后的邊界紅光為OH，紫光為OZ，（H，Z為圓周上的交點）;作過N點與入射光線PO平行的光線MN（白光），又過端點O作平行光MN的垂線OM交MN于M點，根據惠更斯原理可知，對于介質中的紅光OH的H點（或紫光OZ的Z點）與N點處于同一波面上，即白光在真空中從M點傳播到N點的時間等于在介質中紅光從O點傳播到H點（紫光從O點傳播到Z點）的時間。各種色光在真空中的波速是相等的，所以不論是紅、紫光還是其他的單色光，在介質中色散彼此傳播的光線均是一簇發散弦，光線在這些弦上傳播時間均相等。這就是光學中的“等時圓”。

2、應用例析

如果我們能夠借助于惠更斯的“等時圓”模型，求解有關光的傳播時間問題，便很能清晰地說明問題，直觀易懂，加深印象，更有利于學生理解與掌握。

例5：如圖17所示一束由紅、藍兩單色光組成的光線從一平板玻璃磚的上表面以入射角θ射入，穿過玻璃磚從下表面射出，已知該玻璃對紅光的折射率為1.5，設紅光與藍光穿過玻璃磚所需時間分別為t1和t2，則在θ逐漸由0°增大到90°的過程中有：

A. t1始終大于t2 B. t1始終小于t2

C. t1先大于后小于t2 D. t1先小于后大于t2

解析：（解法1）設折射角為α，玻璃磚的厚度為h，由折射定律，且，在玻璃磚中的時間為：，聯立解得

紅光頻率較小，θ為零時，t1

此法定量去解析求解，比較繁瑣，不直觀易懂，且需要特殊值代入加以檢驗，說服力不強，若能夠借助于惠更斯的“等時圓”模型來求解，則簡潔、直觀，問題就迎刃而解。

解法2：已知該玻璃對紅光的折射率為1.5，則臨界角的正弦值為，而，即紅光的臨界角小于450，那么紫光的臨界角也小于450，也就是最大的折射角都小于450，由圖18可知，構建一個惠更斯“等時圓”，在折射角小于450的情況下，在等時圓中藍光對應的等時弦始終小于紅光的等時弦，所以在平行玻璃磚中，折射率小的折射光線在其中的距離總比原來在等時圓中等時弦短，則對應的時間就短，所以在在平行玻璃磚中紅光傳播的時間始終小于藍光傳播的時間。

若玻璃對紅光的折射率為1.4，則臨界角的正弦值為，表明臨界角大于450，因此當入射角增大到一定值時，折射角會大于450，此時等時弦如圖19所示，對于平行玻璃磚，折射率大的折射光線在其中的距離比原來在等時圓中等時弦短，則對應的時間就短，因此，在折射角逐步從零增大的過程中，紅光在平行玻璃磚傳播的時間先小于藍光傳播的時間，而后大于藍光傳播的時間。

結語：核心素養，是每個人發展與完善自我、融入社會及勝任工作所必需的基礎性素養，是適應個人終生發展和社會發展所需要的必備品格與關鍵能力。科學的基本活動就是探索與建立模型，幫助學生從新的物理情境中提取有效信息，挖掘隱含條件，構建物理模型，然后把所學的物理概念和規律遷移到問題中快速找到解決問題的方法。面對這樣一群鮮活的、有學習積極性的學生，我們教師應該針對性地進行這方面的訓練，以提高思維的敏捷性和建模能力，從而助推物理核心素養的提升。

參考文獻

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[4]鄭志湖、鄭陸敏《“學為中心”的高中物理教學》浙江教育出版社2017年