導數在高中數學解題中的有效應用

鄭潔

摘 要：在高中數學人教版的教學中，我一直認為培養學生運用導數知識的能力應該是教師教學的重點之一，因為導數作為我們研究數學的一個重要工具，在我們進行高中數學的解題時，不論是在代數知識、幾何知識，還是在數學實際的解題中，利用導數知識，都能夠幫助我們更好的找到解題思路，那么，在實際教學中，我們應該如何引導學生正確運用導數知識來解決這些問題呢？

關鍵詞：高中數學;導數;教學方法;

引言：在高中階段數學的學習中，我們會遇到多種多樣的學習方法、教學方法以及數學思想，但是在解決高中數學問題的時候，我們會遇到很多很難用初等數學知識解決的問題，因此在對這些問題進行解決時，我們可以利用函數的方法對問題進行建模，而學習導數知識，就能夠加強我們對函數思想的運用能力。

一、在高中數學代數問題的解題過程中，我們應該如何正確運用導數知識？

很多學生在學習中會有這樣的疑問：我們為什么要學習導數？除了前文所提到的以外，教師還應該告訴學生，導數是我們以后學習微積分的基礎，而微積分則是我們科學的認識這個世界的鑰匙。以此提高學生對導數學習的重視程度，喚起學生對未來數學學習的興趣，促進學生在數學道路上的可持續性發展。

既然導數知識在高中數學中的作用如此巨大，那么我們應該如何正確的運用導數知識呢？本部分將以高中數學中的代數問題為例。

（一）函數部分

函數與導數作為高中數學的核心內容之一[1]，在解決函數類問題時，運用導數知識能夠更好的突出函數的性質。

首先，在求值域之類的問題中，這種問題是學生在學習高中數學函數知識，乃至在學生整個高中數學階段的學習過程中的重點，同時也是教師教學的難點，解決這類的方法有很多，其中最簡便的方法就是利用導數求值域的方法。在解題過程中，我們可以先找到問題函數f（x）的定義域是什么，然后根據這個定義域思考f’（x）應該是正的還是負的，繼而求出函數的值域。

其次，在求最值的問題中，我們依然可以利用導數的方法，以題目為例：已知f（x）=x3-2x，求這個函數在[-2，1/2]上的最值。在利用導數的相關知識做這道題目的時候，我們可以先根據f’（x）求函數的遞增、遞減區間，然后再推理該函數的最大值或最小值。

（二）方程部分

在方程相關問題的解答中，導數最大的一個功能就是能夠將方程降次。如我們就可以將x3-mx2+1=0先設為f（x）=x3-mx2+1，，然后利用導數的方法對這個方程進行降次處理，處理為f’（x）=3x2-2mx，之后再運用高中數學中方程的相關解題方法去做題就會更加簡便了。

（三）數列部分

數列知識貫穿于我們在高中數學的整個學習過程中，學生在考試中對數列方面的綜合類題目進行解答時，往往容易出現各種錯誤，究其原因就是沒有掌握正確的數列解題方法，作為一名高中數學課教師，在實際教學中，我們可以適當的引入導數知識，來幫助學生更好的學習數列內容。

如在求最大值的數列問題中，已知條件為：an=n2（10-n）中，我們就可以先將其以f（x）=x2（10-x）的形式表達出來，然后利用導數知識，將其轉變為f’（x）=20x-3x2的形式，并求f’（x）的最值和單調區間，然后根據這些數值和相關已知條件求出待解問題就可以了。

二、在高中數學幾何問題的解題過程中，我們應該如何正確運用導數知識？

學生在學習數學知識時會遇到多種多樣的數學問題，除了代數問題以外，還有一些幾何問題，在初中數學的學習中幾何問題并不難，但是當學生開始正式進行高中數學學習的時候[2]，就會遇到一些較為繁瑣的幾何問題，為了幫助學生找到這些問題的最好解決方案，我們可以教授學生一些利用導數求解幾何問題的方法。

如在求幾何圖形的切線（直線）方程的相關問題中，我們就可以利用導數的方法，先將幾何問題中的曲線方程看做是函數的形式，然后再根據相關的求導法則就可以輕而易舉的求出來這個幾何圖形的切線（直線）方程了。如已知幾何圖形的曲線方程是：2x2-y2=2，想要求這個方程在相關條件下的直線方程，我們就可以先將其視為函數的形式，然后再利用導數知識，通過對兩邊進行分別求導的方法，并根據題目中的已知條件，就可以求出該方程的直線方程了。

三、在高中數學實際問題的解題過程中，我們應該如何正確運用導數知識？

在高中數學的學習中，導數在我們進行代數、幾何等相關問題的解題時，能起到重要的輔助作用。那么，導數是不是只可以被應用在這些知識點的解題中呢？當然不是，在我們的實際生活中也有很多數學問題，在對這些數學問題進行解答時，我們也可以利用導數的相關內容。

如在問題中：某地有兩個人都想在小河東側建立工廠，其中小明將工廠建在如圖所示（圖略）緊靠河岸的A處，小紅建在了距離這條小河40千米的B處，如果以B為起點相小河做一條垂直錢，交小河與點C，那么AC等于50千米。為了工廠更好的發展，這兩個人決定建造一個供水站，經過計算，發現供水站到小明工廠使用的水管費用為3a元/km，到小紅工廠的水管費用則為5a元/km，為了花費最少的錢，這個供水站應該建在什么地方？在這個問題中，我們就可以先根據已知條件假設水管的費用是f（a），然后求出f（a）的函數解析式，再通過導數知識求出f’（a）的解析式，最后再根據實際問題內容通過求函數最值的方式，求出問題最終答案。

四、總結

總之，導數知識作為我們在高中數學的教學中最重要的數學知識之一，其作用遠不止文中所提到的這些。因此，教師在實際教學中應該加強學生對導數學習的重視程度，提高學生在學習中運用合適的數學思想利用導數知識的方法解決數學問題的能力。

參考文獻

[1]陳博文.規范靈活的思維是解決壓軸題的關鍵——以展示兩道函數與導數壓軸題解題歷程為例[J].中學數學研究，2018（1）：39-42.

[2]張梓萱.導數在高中數學解題中的應用淺析[J].學周刊，2018（6）：49-50.