探討高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題的解題方法與技巧

楊榮智

摘 要：高中數(shù)學(xué)數(shù)列方面的內(nèi)容占據(jù)了極其重要的地位，因此需要把握系統(tǒng)的解題方法和解題技巧，有效的提升解題效率。本文分析了數(shù)列試題中常見(jiàn)的考點(diǎn)，并提出相應(yīng)的解題方法和解題技巧，以期提高學(xué)生的綜合能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)列;高中數(shù)學(xué);解題策略

數(shù)列方面的內(nèi)容涵蓋了代數(shù)內(nèi)容、幾何內(nèi)容、方程內(nèi)容的知識(shí)。在實(shí)際應(yīng)對(duì)中需要基于數(shù)列的基本題型進(jìn)行整合與分析，利用不同的解題思路和解題技巧，促使數(shù)列方面的知識(shí)點(diǎn)能夠合理的運(yùn)用于問(wèn)題的解決當(dāng)中。

一、常見(jiàn)數(shù)列試題的考點(diǎn)分析

數(shù)列是一種較為特殊的函數(shù)，其核心的定義是基于在該函數(shù)的定義域內(nèi)所有的正整數(shù)集或在該定義域內(nèi)有限子集的函數(shù)，總的來(lái)說(shuō)，可以將數(shù)列看成一個(gè)有規(guī)律的集合。數(shù)列是聯(lián)動(dòng)多知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容，特別需要注意的是字啊數(shù)列的求解過(guò)程中，多涉及函數(shù)、不等式方面的內(nèi)容，因此，必須重視數(shù)列的運(yùn)用方法。現(xiàn)階段高考關(guān)于數(shù)列方面的內(nèi)容，主要考察學(xué)生對(duì)an、a1、d、n、Sn方面的拓展理解，大體包括數(shù)列的表示方法（正整數(shù)）、等差數(shù)列的性質(zhì)及其前n項(xiàng)和的解法、等比數(shù)列的性質(zhì)及其前n項(xiàng)和的解法以及多情境的實(shí)際性問(wèn)題的解法。

二、實(shí)踐高中數(shù)學(xué)數(shù)列的解題策略分析

（一）基于數(shù)列的基本概念的技巧

高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題主要涵括等差數(shù)列、等比數(shù)列、差比數(shù)列三種模式。每個(gè)數(shù)列模型都有不同的定義及性質(zhì)。由此，需要有效的面對(duì)這方面的數(shù)學(xué)試題，特別是數(shù)列求和中基本定理的使用方法，保證數(shù)列基本題型不會(huì)失分。例如“數(shù)列概念與簡(jiǎn)單表示法”的教學(xué)中，教師需要拓展基本定理，并講述常見(jiàn)的“錯(cuò)位相減法”和“裂項(xiàng)相消法”的基本思路。同時(shí)，需要結(jié)合實(shí)際例題進(jìn)行數(shù)列理論的拓展，具體如下：

例1：有一個(gè)數(shù)列{an}（n=1，2，3，4…）的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足條件Sn=2an-a1，且a1，a2+1，a3這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列。求：

（1）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

分析：（1）中需要應(yīng)用an=Sn-Sn-1的基本公式，將已知條件帶入公式中，結(jié)合條件“a1，a2+1，a3這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列”，可以得到結(jié)果。

解析：（1）由題可得：Sn=2an-a1，由公式an=Sn-Sn-1（n≥2）可得：an=2an-2an-1，化簡(jiǎn)得：an=2an-1，n≥2所以a2=2a1，a3=2a2=4a1。又因?yàn)閍1，a2+1，a3這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，帶入得：a1+a3=2（a2+1）。那么，a1+4a1=2（2a1+1），解之得：a1=2。

通過(guò)分析可以得知：數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2，a2=4，a3=8，且公比q=2的等比數(shù)列。所以其通項(xiàng)an=2n。

例2：已知數(shù)列滿足，且。求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。

分析：該題型應(yīng)使用“構(gòu)造法”的思路，將其構(gòu)造一個(gè)方便解答的公式，該題目中，需要構(gòu)造數(shù)列{1-an}的數(shù)列模型，再轉(zhuǎn)化成需要求解的an公式模型。

解析：由可得：。

又因?yàn)椋?/p>

所以數(shù)列{1-an}的首項(xiàng)，其公比，該數(shù)列為等比數(shù)列。

所以，

對(duì)于數(shù)列基本概念的考察主要是對(duì)于首項(xiàng)a1、通項(xiàng)公式an、前n項(xiàng)系數(shù)和之間的關(guān)系的理解，特別需要注意n≥2在求解通項(xiàng)和公式的運(yùn)用。同時(shí)，教師需要拓展幾種基本類型的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如an+1=an+f（n）的通項(xiàng)問(wèn)題的解決中，需要使用累加法的思路;如an+1=an·f（n）的通項(xiàng)問(wèn)題的解決中，需要使用累乘法的思路;如的通項(xiàng)問(wèn)題的解決中，需要使用構(gòu)造法的思路，將其轉(zhuǎn)化成的模型，上述例題2則是構(gòu)造出{1-an}的模型。最后，教師需要對(duì)該方面問(wèn)題進(jìn)行總結(jié)，運(yùn)用表格、圖像的方法講述數(shù)列的運(yùn)用方法，拓展函數(shù)與數(shù)列的結(jié)合，提高學(xué)生的認(rèn)知。

（二）基于等差數(shù)列的技巧

等差數(shù)列的方面的問(wèn)題大多出現(xiàn)在選擇或填空題，其主要是考察學(xué)生對(duì)等差數(shù)列基本定義的理解，分析等差數(shù)列中首項(xiàng)a1，公差d的關(guān)系，圍繞這兩點(diǎn)進(jìn)行內(nèi)容的拓展和知識(shí)的遷移。同時(shí)，教師需要講述等差數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系，運(yùn)用合理的情境講述相關(guān)的理論及內(nèi)容。

例如在“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”的教學(xué)中，首先教師需要講述等差數(shù)列的基本定義和通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生了解已知an、a1、d、n、Sn這五個(gè)關(guān)系中任意3個(gè)數(shù)據(jù)求解另外兩個(gè)數(shù)據(jù)的思路。同時(shí)，教師需要依據(jù)學(xué)生掌握的知識(shí)理論進(jìn)行相關(guān)題型的拓展。

例3：已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，a10=8。求a100的值。

分析：主要應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式以及通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d的基礎(chǔ)運(yùn)用。

解析：由題可得：，解之得：

因此，可以得到這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an=a1+（n-1）d=n-2。由此可以得到a100=100-2=98。

例4：等差數(shù)列{an}中，a1=20，前n項(xiàng)和為Sn，且S10=S15。求n取和值時(shí)，Sn有最大值，并求出Sn最大值是多少？

分析：發(fā)現(xiàn)S10=S15，可以依據(jù)通項(xiàng)公式分析出一個(gè)臨界點(diǎn)，通過(guò)臨界點(diǎn)可以找到Sn的最大值;或依據(jù)二次函數(shù)的極值點(diǎn)，求出對(duì)應(yīng)的Sn的值，也可以實(shí)現(xiàn)該為的求解。

解析：（直接利用Sn）由公差，首項(xiàng)a1=20，可以得到：

根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式含義可得，k=，b=。由于n為正整數(shù)，所以可以得到當(dāng)n=12或n=13時(shí)有最大值，且最大值為130。

通過(guò)這兩種解題思路均可以實(shí)現(xiàn)該問(wèn)題的求解，其出發(fā)點(diǎn)是不一樣的，因此教師需要在數(shù)列的試題拓展中運(yùn)用多元化的解題思路，幫助學(xué)生能夠更快的進(jìn)行思維拓展，也能有效的應(yīng)對(duì)這方面的問(wèn)題。最后，教師需要還需拓展如“1+2+3+…n=”、“2+4+6+…2n=n2+n”、“1+3+5+…（2n-1）=n2”等類型的數(shù)列公式，結(jié)合倒序相加法、錯(cuò)位相加法的思路進(jìn)行拓展，提高學(xué)生對(duì)數(shù)列的認(rèn)知。

三、結(jié)束語(yǔ)

有關(guān)數(shù)列方面試題的拓展應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}思路，結(jié)合不同體型所對(duì)應(yīng)的解題技巧，能夠有效減少題型的出錯(cuò)率和解題時(shí)間。同時(shí)，學(xué)生需要構(gòu)建系統(tǒng)的解題流程，保證公式運(yùn)用方法“不混亂”，這對(duì)于學(xué)生全面發(fā)展有著積極的意義。