淺析不等式在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

劉波

摘 要：以現(xiàn)在國(guó)家大力推廣的教育改革為背景，下文對(duì)高中階段的數(shù)學(xué)進(jìn)行解題時(shí)，不等式實(shí)際使用到最值、極值、線性規(guī)劃以及絕對(duì)值這幾類問(wèn)題的解題當(dāng)中，以人教版高中數(shù)學(xué)階段中具體的實(shí)例為依據(jù)，對(duì)其具體的解題思路以及過(guò)程進(jìn)行了論述。

關(guān)鍵詞：不等式;高中數(shù)學(xué);解題;運(yùn)用

引言：不等式在對(duì)高中階段數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解題時(shí)，發(fā)揮著承上啟下這一作用。不僅能夠?qū)⑵鋺?yīng)用到對(duì)合集以及函數(shù)等這類數(shù)學(xué)知識(shí)的解決中，另外，還為同學(xué)們提升解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力打下了基礎(chǔ)。對(duì)于即將應(yīng)對(duì)高考的同學(xué)來(lái)講，對(duì)于不等式相關(guān)知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)并靈活應(yīng)用，能夠讓其考試成績(jī)實(shí)現(xiàn)大幅度提升。

一、借助于不等式，解答高中數(shù)學(xué)中的最值問(wèn)題

在高考中，最值屬于數(shù)學(xué)當(dāng)中的一個(gè)必考知識(shí)點(diǎn)，幾乎在高中階段數(shù)學(xué)知識(shí)的所有模塊中都能看到其身影。另外，這也是現(xiàn)在高中同學(xué)們一定要擁有的一類解題能力。現(xiàn)在，借助不等式求解的方式，對(duì)數(shù)學(xué)中的最值問(wèn)題進(jìn)行解答屬于一類頻繁使用的方法，可是，在對(duì)一些數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行解答時(shí)，不能直接對(duì)相關(guān)的公式進(jìn)行套用，一定要合理地對(duì)其實(shí)施添加因式或是拆項(xiàng)，最終高效地對(duì)最值問(wèn)題進(jìn)行解答。

例如，在對(duì)“若實(shí)數(shù)x，y滿足∣x∣≤y≤1，則x2+y2+2x的最小值為（）”這一題目進(jìn)行解答時(shí)。

1.分析解題思路：將可行域做出來(lái)→將題目轉(zhuǎn)變成“距離類型的問(wèn)題”→通過(guò)使用屬性結(jié)合的方式，得出最終答案。

2.具體解題步驟：將∣x∣≤y≤1代表的可行域做出來(lái)，如下圖1.

x2+y2+2x=（x+1）2+y2表示上圖1可行域當(dāng)中的點(diǎn)（x，y）到達(dá)點(diǎn)（-1，0）距離的平方值，從上圖1當(dāng)中能夠直觀地了解到，x2+y2+2x的最小值是2=，由此可得，x2+y2+2x的最小值是-1=-。

二、借助于不等式，解答高中數(shù)學(xué)中的取值問(wèn)題

高中數(shù)學(xué)中，參數(shù)問(wèn)題的解答是讓同學(xué)們最為頭痛的。平時(shí)，在實(shí)際開展教學(xué)工作期間，數(shù)學(xué)教師普遍會(huì)借助函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)等方式對(duì)高中數(shù)學(xué)中的參數(shù)取值問(wèn)題進(jìn)行解答，可是，這幾類解題方法在實(shí)際進(jìn)行計(jì)算時(shí)，會(huì)頻繁出現(xiàn)一部分錯(cuò)誤，所以，要借助不等式解答參數(shù)的取值，讓同學(xué)們的學(xué)習(xí)難度減小，讓其計(jì)算能力得到進(jìn)一步的提高[1]。

例如，在對(duì)“若正數(shù)m，n滿足m+n+3=mn，此時(shí)，不等式（m+n）2+2x+mn-13≥0恒成立，此時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍是（ ）”這一題目進(jìn)行解答時(shí)。

1.分析解題思路：令m+n=a，可推導(dǎo)得出mn=a+3→即m，n是x2-ax+a-3=0的兩個(gè)正實(shí)根→計(jì)算得出a的取值范圍→由題目已知條件可知：（m+n）2+2x+mn-13≥0此不等式恒成立，將其轉(zhuǎn)變?yōu)閍2+2x+a-10≥0在a≥6的時(shí)候恒成立→將x的取值范圍通過(guò)計(jì)算得出。

2.具體解題步驟：

令m+n=a，則mn=a+3，

故m，n是方程x2-ax+a-3=0的兩個(gè)正實(shí)根，

求得a≥6，將原不等式（m+n）2+2x+mn-13≥0恒成立a2+2x+a-10≥0在a≥6的時(shí)候恒成立。

即函數(shù)f（a）=a（x2+1）+2x-10≥0在a∈[6，+∞）時(shí)恒成立。

f（6）=6（x2+1）+2x-10≥0x≥或x<-1，

∴原不等式的取值范圍是（-∞，-1]∪[，+∞）

三、借助于不等式，解答高中數(shù)學(xué)中的絕對(duì)值問(wèn)題

對(duì)于高中階段數(shù)學(xué)當(dāng)中的絕對(duì)值進(jìn)行解答時(shí)，對(duì)于不等式這一方式的實(shí)際使用相對(duì)寬泛，以高考的命題角度來(lái)講，存在絕對(duì)值的不等式屬于命題過(guò)程中的一項(xiàng)重要資源，另外，這部分解題內(nèi)容還是高中階段的同學(xué)們一定要掌握的知識(shí)點(diǎn)。對(duì)于絕對(duì)值不等式進(jìn)行解答的方式眾多，例如借助相關(guān)公式進(jìn)行解題的方式、作商進(jìn)行解題的方式、作差進(jìn)行解題的方式、數(shù)相結(jié)合的解題方式以及分類進(jìn)行討論的解題方式等等，對(duì)于絕對(duì)值不等式進(jìn)行解答時(shí)，重點(diǎn)是借助準(zhǔn)確的解題方式，將題目當(dāng)中包含的絕對(duì)值符號(hào)剔除掉，把題目轉(zhuǎn)變成不存在絕對(duì)值的不等式，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)絕對(duì)值不等式類型的題目進(jìn)行解答[2]。

例如，在對(duì)“若00且a≠1，則|㏒a（1-x）∣與∣㏒a（1+x）∣的大小關(guān)系是（）”這一題目進(jìn)行解答時(shí)。

具體解題步驟：

1.作差法解題步驟：

∵0

∴0<1-x<1，0<1-x2<1，1<1+x<2.

∴l(xiāng)g（1-x）<0，lg（1-x2）<0，lg（1+x）>0，

∴∣㏒a（1-x）∣-∣㏒a（1+x）∣

=∣∣-∣∣

=

=，

∴∣㏒a（1-x）∣>∣㏒a（1+x）∣

希望通過(guò)上述幾個(gè)例題的解答，能夠讓同學(xué)們進(jìn)一步了解不等式在高中階段數(shù)學(xué)中的重要性，為其實(shí)際解題提供一定的幫助。

結(jié)束語(yǔ)

根據(jù)上文所講，在實(shí)際對(duì)高中階段的數(shù)學(xué)題目進(jìn)行解答時(shí)，數(shù)學(xué)教師要最大限度地對(duì)不等式進(jìn)行使用，知道同學(xué)們靈活地借助于數(shù)學(xué)方面的解題方式，對(duì)實(shí)際存在的問(wèn)題進(jìn)行解答，讓同學(xué)們自身對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行解答的能力得到提升的同時(shí)，還能夠推動(dòng)同學(xué)們更為優(yōu)質(zhì)地對(duì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答。