淺議高考真題解法的靈活多樣性

摘 要：新課改下的高中數學課程更注重創新思維能力的培養，注重基礎，立足基礎，多方位，多角度，多元化已成為數學培養發展的方向。數學是思維的體操，思維是學習數學的靈魂。對于某些數學知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進行理解。我們可以考慮一題多解，讓課堂充滿靈動的數學思想，讓思維綻放精彩。

關鍵詞：多角度;多方位;靈活性;一題多解;數學思想;

多年以來，數學在高考中的比重一直居高不下，也是必考科目之一，在日常教育教學中，數學也被另眼相看，成了名副其實的主課，而數學它又是一門自然學科，有它自身的特點，數學是研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科.透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產生.數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的真理.因此在解題與解決實地問題的過程中，如果能夠經常結合所學知識，多方位，多角度去思考問題，采用多樣化的方法去解題或解決問題，不但可以提高解題與運算能力，而且還可以培養創造能力，下面就從一道數學高考真題入手，來體驗一下高考真題解法的靈活多樣性。

題目：已知x≥0，y≥0，且x+y=1，則x2+y2的取值范圍是_______.

本題直觀上看是一道在一定條件下，求范圍問題。但實質上出題者的本意可能并非如此，其目的可能有五個：（其一）可能通過考察二次函數求值域，來解決范圍問題。（其二）可能通過考察基本不等式求最值，來解決范圍問題。（其三）可能通過考察線性規劃求距離的平方，來解決范圍問題。（其四）可能通過考察變量代換，轉化為三角函數，應用三角函數的各種公式，來解決范圍問題。（其五）可能通過考察參數方程，轉化為三角問題，來解決范圍問題。下面一一給出解法共同行們商討。

法一：函數構造法

解：因為x+y=1，所以y=x-1，代入x2+y2得，

x2+y2=x2+（1-x）2=2x2-2x+1=;

又由于x≥0，y≥0，且x+y=1，所以x∈[0，1]，

當x=0或x=1時，x2+y2取得最大值1，當x=時，

x2+y2取得最小值，所以x2+y2的取值范圍是[，1]。

法二：采用不等式法

解：由基本不等式解得：當x>0，y>0時，

可得：當x>0，y>0時，，根據條件x+y=1，得：

當x，y有一個為0時，結果顯然成立。

另一方面，當x≥0，y≥0時，x2+y2≤x2+y2+2xy=（x+y）2=1

所以x2+y2的取值范圍是[，1]。

法三：線性規劃分析法x2+y2

解：設直線x+y=1與兩坐標軸的交點坐標A（0，1），B（1，0）.

P（x，y）為線段AB上任意一點，

則P到原點的距離為，又，所以

所以x2+y2的取值范圍是[，1]。

法四：三角代換法

解：由已知條件得：設x=sin2θ，則y=cos2θ

x2+y2=sin4θ+cos4θ=（sin2θ+cos2θ）2-2sin2θcos2θ=1-sin22θ∈[，1]

所以x2+y2的取值范圍是[，1]。

法五：參數方程法

解：由已知條件得：令x2+y2=r2（r>0），設x=rcosφ，y=rsinφ，

根據x+y=1得：rcosφ+rsinφ=1，可化為：

即：，因為

即，所以

所以x2+y2的取值范圍是[，1]。

由上可知，高考試題可以根據知識之間的聯系，通過相互轉化，采用靈活多樣的解題方法，使問題得一圓滿解決。靈活多樣的解題方法不但能讓學生達到解題的目的，而且能拓展學生思維模式。激發學生的學習興趣，使得枯燥的數學解題變得更加具有吸引性。

參考文獻

[1]曾凡藝;立足一題多解，讓思維綻放精彩《文理導航》

[2]許洪梅，惠井華;一題多解對學生創造性思維能力的培養[J].中學數學教學參考，

[3]王馳;實例分析初中數學的一題多解《數理化解題研究》

[4]禹鳳英;一題多解之我見《考試周刊》

作者簡介：馬度善，回族，甘肅天水人，理學士，一級教師，主要從事高中數學教學工作