高中三角教學(xué)中有效滲透數(shù)學(xué)思想方法的案例分析

樂小良

【摘要】在高中三角內(nèi)容的教學(xué)中，從內(nèi)容上看紛繁復(fù)雜和靈活多變，但進(jìn)行教材分析之后我們發(fā)現(xiàn)較多有章可循的地方，不是零散而無序的，而是完整的知識(shí)體系。還有貫穿整個(gè)體系的脈絡(luò)，也是體系的精髓——數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法不是以具體的教材內(nèi)容出現(xiàn)，卻是統(tǒng)領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)三角知識(shí)的指揮棒，也是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的重要標(biāo)志。筆者在現(xiàn)有的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上依托中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)規(guī)律，探討教師在三角內(nèi)容的教學(xué)實(shí)踐中怎樣實(shí)現(xiàn)全面有效滲透數(shù)學(xué)思想方法。結(jié)合教學(xué)實(shí)例分析各種數(shù)學(xué)思想方法在三角內(nèi)容中的應(yīng)用，證實(shí)三角教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的研究?jī)r(jià)值。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；三角教學(xué)；數(shù)學(xué)思想；有效滲透

一、研究的背景

高中教材中的三角部分系統(tǒng)性強(qiáng)，有相對(duì)完整的知識(shí)體系，可以根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)在三角學(xué)習(xí)的過程中加強(qiáng)思想方法的訓(xùn)練。眾所周知，思想引領(lǐng)著知識(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的時(shí)候，如果不始終貫穿思想，學(xué)生學(xué)習(xí)的知識(shí)是零散無效的，學(xué)生的思維能力也得不到發(fā)展。因此在研究高中三角內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，應(yīng)從教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)思想方法著手。在三角教學(xué)中較好滲透數(shù)學(xué)思想方法不僅解決學(xué)生學(xué)習(xí)三角困難而且可以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，為學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，建立學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。同時(shí)也是發(fā)展教師專業(yè)能力的良好途徑。另外對(duì)三角內(nèi)容的考查一直是高考的關(guān)注點(diǎn)，研究近幾年高考試題我們可以發(fā)現(xiàn)，考查內(nèi)容主要是運(yùn)用三角函數(shù)的函數(shù)內(nèi)含解決數(shù)學(xué)問題和運(yùn)用解三角形知識(shí)進(jìn)行三角形邊角關(guān)系的推算。弱化了繁難巧的三角變換考查，符合《新課程標(biāo)準(zhǔn)》提出重視對(duì)基本概念的教學(xué)，以及培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求。

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)本質(zhì)的思維形式，它是在提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力中獲得的。數(shù)學(xué)思想不僅引領(lǐng)知識(shí)，也啟發(fā)思維。隨學(xué)生思維的成熟和知識(shí)的積累，學(xué)生逐漸掌握數(shù)學(xué)思想方法并將其轉(zhuǎn)變?yōu)橹R(shí)的遷移能力，學(xué)生具備了知識(shí)的遷移能力才可能應(yīng)對(duì)靈活多變的問題。所以在教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，并在教學(xué)活動(dòng)中幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)思想方法引領(lǐng)數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)模式。

二、數(shù)學(xué)思想方法在三角教學(xué)中的應(yīng)用案例分析

三角函數(shù)是體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的經(jīng)典案例，在解不等式，比較大小，最優(yōu)化的問題時(shí)常常將三角函數(shù)作為媒介達(dá)到解決問題的目的。在三角教學(xué)中滲透函數(shù)思想主要體現(xiàn)在以下兩方面：其一，運(yùn)用三角函數(shù)特殊性質(zhì)解決求值、證明、不等式、方程等問題；其二，用三角代換將其他問題通過轉(zhuǎn)移到三角問題上來，利用三角知識(shí)靈活性和多變性解決原有問題。

高中常見的數(shù)學(xué)思想有：數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，函數(shù)與方程思想和化歸轉(zhuǎn)化思想。下面結(jié)合三角教學(xué)案例來分析如何有效滲透各種數(shù)學(xué)思想方法。

1.數(shù)形結(jié)合思想

恩格斯說過：“研究客觀世界里物質(zhì)之間量的關(guān)系和空間關(guān)系的科學(xué)是數(shù)學(xué)。”數(shù)形結(jié)合有兩個(gè)方面。一方面，“以形助數(shù)”是以圖的直觀性指導(dǎo)思維方向，得到解決問題的思路。另一方面，“以數(shù)解形”是在解決問題時(shí)通過計(jì)算的數(shù)量來解決具體幾何問題，這表明了“數(shù)和形”巧妙結(jié)合。實(shí)現(xiàn)數(shù)與形之間來去自如的轉(zhuǎn)變，需要理解數(shù)所含的形，形所需的數(shù)。

代數(shù)的可運(yùn)算和幾何的可操作都集中在數(shù)形結(jié)合思想之中。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用廣泛，以下進(jìn)行舉例說明。

在三角教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想解決問題類型如下：

1.求值域（取值范圍）中的數(shù)形結(jié)合思想

例1 求函數(shù) 的值域。

圖4

分析：原函數(shù)可以改寫成，我們可以把該式視作定點(diǎn)A（3，-2），和動(dòng)點(diǎn)連接的斜率，設(shè)，則由： ，x2+y2=1知，動(dòng)點(diǎn)B表示的是單位圓。則y表示連接定點(diǎn)A與單位圓上任意一點(diǎn)B的直線的斜率，如圖4所示，設(shè)直線1的方程為y+2=k（x-3）即kx-y-3k-2=0圓心到直線l的距離不大于半徑得 ，解出k的值即為函數(shù)的值域。

解：由知，y表示定點(diǎn)A（3，-2）和動(dòng)點(diǎn)連線的斜率，設(shè)，則由：，s2+y2=1知，動(dòng)點(diǎn)B為單位圓。則y表示連接定點(diǎn)A與單位圓上的任意一點(diǎn)B的直線l的斜率，如圖1所示設(shè)直線l的方程為y+2=k（x-3），即kx-y-3k-2=0。圓心到直線l的距離不大于半徑得，解之得，所以函數(shù)的值域?yàn)?/p>

注意在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合求解三角函數(shù)的問題時(shí)，應(yīng)時(shí)刻牢記動(dòng)點(diǎn)（acosd，asind）表示圓，遇到分式想斜率，遇到平方和想距離。

2.證明或求值中的數(shù)形結(jié)合思想

求證：

分析：，直線l：ax+by=1，則點(diǎn)A與點(diǎn)B均在直線上也均在單位圓上，即它們是直線與單位圓的交點(diǎn)，如圖5所示設(shè)圓心o到直線l的距離為d，由平面幾何知識(shí)知，代入數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)即可得到要證明的結(jié)論。證明設(shè)，直線l：ax+by=1，則點(diǎn)A與點(diǎn)B是直線與單位圓的交點(diǎn)，如圖2所示圓心到直線的距離為d，由平面幾何有

2.分類討論思想

將復(fù)雜多變的問題按一定可行的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)關(guān)鍵要素進(jìn)行分類，分類要注意做到不重不漏，在每類情況中這個(gè)要素是確定的，所以每類的問題變得簡(jiǎn)潔可行，達(dá)到解決原有問題的目的。三角函數(shù)知識(shí)中蘊(yùn)含了豐富的分類討論的思想。三角函數(shù)的周期性、正弦余弦平方關(guān)系中符號(hào)的確定、三角變換中的誘導(dǎo)公式都是常見的討論點(diǎn)。在解決該類型的題目時(shí)，要時(shí)刻記住注意對(duì)相關(guān)角及參數(shù)進(jìn)行分門別類的討論。

例3 化簡(jiǎn)：

解析：原式=

（1）當(dāng)n為偶數(shù)，即時(shí)

原式

（2）當(dāng)n為奇數(shù)，即時(shí)

原式

所以。

分類討論思想往往不是單獨(dú)使用，和其他數(shù)學(xué)思想方法一起被綜合運(yùn)用，例如在復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和最值問題中，應(yīng)結(jié)合整體思想進(jìn)行分類討論。

例 4 求函數(shù)的最小值.

分析：本例考查了學(xué)生的整體代換、分類討論的數(shù)學(xué)思想，以及函數(shù)圖像如對(duì)勾的函數(shù)的單調(diào)性 。其中k 是個(gè)待定常數(shù)，“對(duì)鉤”函數(shù)的最值與常數(shù)k 的取值有關(guān)， k的取值范圍確定了“對(duì)鉤”函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求最值點(diǎn)需要依據(jù)單調(diào)區(qū)間的確定，為了解題的方便一般用整體代換法，因?yàn)檎w代換是通向數(shù)學(xué)本質(zhì)的一座橋梁，它能夠?qū)?fù)雜問題簡(jiǎn)單化。

3.函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想是將遇到的問題通過觀察、聯(lián)想構(gòu)造成已經(jīng)掌握的函數(shù)模型上來，再研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)達(dá)到解決原有問題目的。方程思想是將數(shù)學(xué)問題中的數(shù)學(xué)關(guān)系用含未知數(shù)的等式表達(dá)出，達(dá)到解決問題的目的。三角的學(xué)習(xí)過程中函數(shù)思想和方程思想非常常見，例如初中學(xué)習(xí)的二次函數(shù)和一元二次方程經(jīng)常是被用來研究含三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)問題的突破口。將剛學(xué)習(xí)的三角問題用熟練的函數(shù)性質(zhì)來解決，方程方法也是解決三角問題的較好途徑之一。

例5 函數(shù)的最大值

分析： 為求函數(shù)的最大值，需轉(zhuǎn)化為某一個(gè)角的同一種三角函數(shù)，從而需建立 與之間的關(guān)系，為此，自然想到，引入輔助函數(shù)，設(shè)，則

所以

利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求最大值為。

例6 設(shè)為銳角，且

求證：

證明：將已知的等式整理成以為變量的一元二次方程：

其判別式

所以

又為銳角，，于是有

又因?yàn)?/p>

所以，即

4.化歸轉(zhuǎn)化思想

化歸轉(zhuǎn)化思想將遇到的問題通過邏輯推理轉(zhuǎn)化到已掌握的知識(shí)和能力上來。在學(xué)習(xí)新知的過程中經(jīng)常是題目的已知條件和題目的問題存在較大距離，只能借助已有的知識(shí)或解決模式來分析面對(duì)的新問題，將面臨的問題轉(zhuǎn)移到已掌握的方法上來。從而順利解決棘手的問題。三角函數(shù)中常見的轉(zhuǎn)化問題有“切化弦”“統(tǒng)一名稱”“統(tǒng)一大小”“整體代換”等。化歸轉(zhuǎn)化思想的關(guān)鍵是要從表象看本質(zhì)，通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化來解決問題。在三角教學(xué)中我們可以經(jīng)常看到化歸轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，例如體現(xiàn)在兩角和差公式推導(dǎo)出倍角公式中，研究一般三角函數(shù)性質(zhì)和與其他函數(shù)性質(zhì)的關(guān)聯(lián)中。

例7 已知，求 的取值范圍。

分析：由可得

因?yàn)椋?/p>

解得或

故

令，則，（轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)）

因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，所以

即的取值范圍是

點(diǎn)評(píng)：本題的解法體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，把困難的函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的二次函數(shù)的定義域，值域問題。但在轉(zhuǎn)化過程中要注意三角函數(shù)的范圍問題，此題中的最小值不是-1。

再如比較常見是將三角函數(shù)依題意代入已知條件中，利用三函數(shù)值的封閉性確定其他參數(shù)的范圍，也可將參數(shù)視為含三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)并以此來求值域，從而確定參數(shù)的范圍，順利完成化歸轉(zhuǎn)化。

例8.關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解：原方程可化為

所以

故所求范圍是

點(diǎn)撥：例題利用三角代換，轉(zhuǎn)換參數(shù)x成，快速解m，跨度較大，但巧妙靈活。

解決三角問題的過程是在三角函數(shù)定義、圖像及性質(zhì)理解基礎(chǔ)上對(duì)角的值、函數(shù)名稱和代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行變換的過程。題型有化簡(jiǎn)、求值及證明等不同的形式，但其中包含的數(shù)學(xué)思想方法還是有章可循的，運(yùn)用以上轉(zhuǎn)化、化歸思想，可以幫助學(xué)生將面臨的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化到自己的能力范圍內(nèi)，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心和內(nèi)驅(qū)力，引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)創(chuàng)新思維的殿堂中。

作為數(shù)學(xué)教育的核心內(nèi)容——數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)是一個(gè)廣泛而深刻的課題，本文只是對(duì)三角內(nèi)容隱含的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了案例分析方面的研究，整個(gè)高中數(shù)學(xué)應(yīng)如何滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)研究需要廣大數(shù)學(xué)教育工作者們更深入地探討，為突破高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重難點(diǎn)問題提供更多更好的方法。

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