“數形結合”釋“懸疑”

王寶姿 黃甲鋒

在拋物線中探究平行四邊形存在性問題，題目非常靈活，不僅能考察學生的基礎知識掌握情況，也能很好的考察學生的綜合能力和思維能力，蘊含了“數形結合”和“分類討論”的數學思想，是中考考察的熱點，同時也是學生的失分點。筆者在教學中探究過拋物線中的平行四邊形存在性問題，運用“數形結合”的數學思想方法把解題的方法進行了歸納和總結，讓學生形成了解題模型，取得了較好的效果，現在分享如下。

在拋物線中平行四邊形存在性問題，一般分為兩種常見類型：一種是已知平面上的三個定點，求平行四邊形的第四個點是否存在，為了表述法方便，將這一種類型題目稱為“定三求一”型;還有一種是已知兩個定點，另外兩個點分別在拋物線上或者某條直線上，探究這樣的平行四邊形是否存在，這一種類型簡潔稱為“定二求二”型。下面，筆者分別對這兩種類型的題目的解題方法做個簡單的探究。

其實，在這四個點中，從任何一個點的角度看，跟另外的三個點都可能成為平行四邊形的對角線，所以總能分成三種情況討論。

方法總結： “知二求二”型問題的解題步驟為：（1）先設出兩個未知點的坐標;（2）按對角線的不同分三種情況討論;（3）由“對點法”規律列出方程組;（4）求出方程組的解，算出符合條件的點的坐標。

其實，對于拋物線中的平行四邊形的存在性問題，例題1和例題2解決問題的方法并不是分開割裂的，既可以用“平移法”解決“定二求二”型問題，也可以用“對點法”解決“知三求一”型問題。

用“平移法”解決“定三求一”問題，解決問題的思路體現的是由“形”到“數”的過程。先畫出圖形，再求解，能夠使問題直觀呈現，這種從“幾何”的角度解決問題的方法，問題較簡單時，優越性較突出，當求的點不止一個時，有時不容易畫出來，常常會漏掉某些情況。

“定二求二”型問題，甚至是“求多”型問題，能夠一招制勝的方法就是“對點法”，它解決問題的思路體現的是由“數”到“形”的過程。這種從“代數”的角度來解決問題的方法，動點越多，優越性越突出。

拋物線中的平行四邊形存在性問題中，不管是用“平移法”還是“對點法”，都體現了數形結合和分類討論的數學思想方法。通過這樣的題型教學，對學生數學綜合能力的提升，以及數學思想方法的滲透，都是大有裨益的。