簡述二次函數(shù)在應(yīng)用方面的幾點(diǎn)思考

王一涵

[摘 要：二次函數(shù)在航天、航海、建筑、工業(yè)生產(chǎn)、投資理財(cái)?shù)阮I(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，也正是實(shí)際的應(yīng)用推動(dòng)二次函數(shù)不斷完善，二次函數(shù)的考察方式非常靈活，應(yīng)用性較強(qiáng)，不僅是科研的重要內(nèi)容，也是初等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)難點(diǎn)，在高中學(xué)習(xí)中非常重要。二次函數(shù)和其他知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系緊密，這就要求同學(xué)們對(duì)二次函數(shù)有更深的把握，適應(yīng)對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)合考察，本文對(duì)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行全面梳理，以便加深同學(xué)們對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)能力。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；聯(lián)合考察；實(shí)際應(yīng)用]

一、引言

在新的課程改革中，著重強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的改革方向是更加注重實(shí)用性，注重在教學(xué)過程中把握理論與實(shí)踐的結(jié)合程度。“為學(xué)之實(shí)，固在踐履”，在學(xué)習(xí)過程中，要熟練掌握工業(yè)生產(chǎn)和經(jīng)濟(jì)運(yùn)行中數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用實(shí)例，并掌握如何獨(dú)立研究一些實(shí)際課題，達(dá)到學(xué)以致用的目的。新的課程改革中，在中學(xué)都安排了相關(guān)任務(wù)，根據(jù)學(xué)生的掌握能力與培養(yǎng)方向而有所不同，但是都重視數(shù)學(xué)知識(shí)與自然科學(xué)、社會(huì)實(shí)踐的結(jié)合。

二、二次函數(shù)應(yīng)用的解題思路如下

（1）分析問題。

（2）確定問題中的變量、常量以及相關(guān)關(guān)系。

（3）以數(shù)學(xué)表達(dá)式的方式描述變量、常量的關(guān)系。

（4）運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)求解。

（5）檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果。

三、二次函數(shù)與物理相關(guān)的應(yīng)用

在解決此類問題時(shí)，要首先建立數(shù)學(xué)模型，將相關(guān)的內(nèi)容轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)，再通過二次函數(shù)的性質(zhì)求解。下面通過舉例來進(jìn)行說明。

（1）直線等加速運(yùn)動(dòng)。勻速直線運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)距離等于速度乘以時(shí)間，公式為S=vt。而直線等加速運(yùn)動(dòng)中，速度會(huì)隨時(shí)變化，運(yùn)動(dòng)距離和時(shí)間、加速度、初始速度都有關(guān)系。公式表示為：[S=V0+12at2]。

由此可知，當(dāng)速度增加一定時(shí)，距離是時(shí)間的二次函數(shù)。

（2）自由落體運(yùn)動(dòng)。在忽略空氣阻力時(shí)，自由落體是在地球重力作用下的直線等加速運(yùn)動(dòng)。初始速度為0，速度增加值為的9.8米/秒，可以表示為g，具體公式為[S=12gt2]。

（3）動(dòng)能。物體在運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)產(chǎn)生能量，物理上稱為動(dòng)能，具有的能量叫做動(dòng)能。用E表示動(dòng)能，m表示物體質(zhì)量，v表示速度，則動(dòng)能的計(jì)算公式為：[E=12mv2]。

例1：從地面向上拋球時(shí)，初始速度為10m/s，g取10m/s2，求時(shí)間t和高度h的關(guān)系。球從拋出到地面需要多久？什么時(shí)間達(dá)到3.75m？

解：高度h是時(shí)間t的二次函數(shù)，公式為[h=10t-5t2]。

當(dāng)h=0時(shí)，[ 0=10t-5t2]，

計(jì)算的t=0或者t=2，即拋出2秒后，回到地面。

當(dāng)h=0時(shí)，[3.75=75t-5t2]，

計(jì)算的t=0.5或者t=1.5，達(dá)到3.75m的高度。

四、二次函數(shù)與實(shí)際生活相關(guān)的應(yīng)用

例2：某工廠生產(chǎn)一臺(tái)設(shè)備固定成本2萬元，每生產(chǎn)一臺(tái)增加投入100元，x為設(shè)備的月產(chǎn)量，收益的函數(shù)為：當(dāng)x在0到400的范圍時(shí)，R（x）=400x+1/2x2；當(dāng)x大于400的范圍時(shí)，R（x）=80000。

（1）求利潤約月產(chǎn)量的函數(shù)f（x）。

（2）獲得最大利潤為多少，此時(shí)的產(chǎn)量為多少？

解：

（1）設(shè)單月的生產(chǎn)量為x臺(tái)，總的成本為20000+100x，當(dāng)x在0到400的范圍時(shí)，f（x）=-1/2x2+300x-20000，當(dāng)x大于400的范圍時(shí)，f（x）=60000-100x。

（2）當(dāng)當(dāng)x在0到400的范圍時(shí)，求f（x）=-1/2x2+300x-20000的最大值，x=300，此時(shí)最大值為25000。當(dāng)x大于400的范圍時(shí)，f（x）是減函數(shù)，也就是此范圍的數(shù)值小于x=400時(shí)的數(shù)值，因此每月生產(chǎn)300臺(tái)設(shè)備的時(shí)候，利潤最大，為25000。

五、利用最大值、最小值計(jì)算二次函數(shù)中的相關(guān)條件

例3：若f（x）=x2+2x+3在區(qū)間[M，0]的最大值為3，最小值為2，求M的取值范圍。

解：先求f（x）的頂點(diǎn)坐標(biāo)，橫坐標(biāo)x=-1，縱坐標(biāo)y=2，因此頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2），如果M<一1，根據(jù)函數(shù)的圖形可知，f（x）關(guān)于x=-1對(duì)稱。f（0）=3，f（-2）=3，f（-1）=2，由此可知，M的取值范圍為[-2，-1]。

六、利用最大最小值求解函數(shù)表達(dá)式

二次函數(shù)有三種表達(dá)式，一般式，頂點(diǎn)式和雙根式，在實(shí)際應(yīng)用重要利用性質(zhì)選擇恰當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式進(jìn)行求解。

例4：二次函數(shù)f（x）滿足f（2）=-1，f（-1）=-1，最大值是8，求二次函數(shù)。

解：利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式求解，設(shè)函數(shù)表達(dá)式為f（x）=a（x-m）2+n。

由題意可知，函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1/2，所以f（x）=a（x-1/2）2+8，代入f（2）=-1，可知-1=a（x-1/2）2+8，因此a=4，代入化解可知f（x）=-4x2+4x+7。

利用相關(guān)條件求二次函數(shù)常用待定系數(shù)法，選用適當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式進(jìn)行計(jì)算。如果已經(jīng)知道拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，常用頂點(diǎn)坐標(biāo)。如果已知拋物線和x軸交點(diǎn)且知道橫坐標(biāo)選用雙根式。

七、總結(jié)

二次函數(shù)的運(yùn)算非常重要，也是考試的重點(diǎn)，在同學(xué)們的學(xué)習(xí)中，必須通過大量的練習(xí)，掌握不同類型計(jì)算題的方法，才能達(dá)到預(yù)期的目的。

參考文獻(xiàn)

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