巧用“變號”思想找到平面所表示的區域

趙明睿

摘要：一元二次不等式的解法是高中階段的重要知識點，而解法中的“變號”思想，通過靈活巧用，對于后續簡單線性規劃的學習提供了便捷。尤其是運用在確定二元一次不等式的平面區域，巧用“變號”思想，從升維的角度思考問題。

關鍵詞：“變號”平面；區域

在學習二元一次不等式（組）與簡單線性規劃問題時，有一種常見題型——

例：在坐標平面內找到（x+y-1）（x-y-1）>0所表示的平面區域。

分析：（x+y-1）（x-y-1）>0，利用分類討論的思想，可以等價轉換為 或 。在坐標平面內找到（x+y-1）（x-y-1）>0所表示的平面區域，就等價為在坐標平面內找到 或 所表示的平面區域。

常規的步驟是首先在坐標平面內找到 所表示的區域（分別按照畫線定界、單側代點定域的步驟表示出x+y-1>0和x-y-1>0，再選取其公共部分），其次在上述坐標平面內找到 所表示的區域（步驟同上）。這樣的步驟雖然難度不大，但是繁瑣費時。

二元一次不等式（組）與簡單線性規劃問題內容安排在人教b版必修五第三章第五節。在實際解題的過程中畫線定界、單側代點定域是兩個常見且實用的步驟，包含了二元一次方程在平面直角坐標系上的表示方法，以及點和直線的位置關系。而在人教b版必修五第三章第三節，學習的內容是一元二次不等式及其解法，該節課的學習對于找出平面表示的區域有哪些幫助？

在解一元二次不等式時，常常利用數形結合的思想。

例：當a>b時，求一元二次不等式（x-a）（x-b）<0的解集。

分析：

結合左側草圖，拋物線與x軸兩交點為零點。

位于x軸的上方位置的拋物線上的點，帶入方程后，滿足（x-a）（x-b）>0

位于x軸的下方位置的拋物線上的點，帶入方程后，滿足（x-a）（x-b）<0

因此，找到一元二次不等式（x-a）（x-b）<0的解集：（a，b）。

我們將形如x=a與x=b的零點，稱之為變號零點，這是因為當拋物線的點位于此類零點的同一側時，將點的橫坐標代入原式，所得不等號方向相同。當點在拋物線上運動時，每經過一個變號零點，不等號方向就發生一次變化，經過兩個變號零點，不等號方向改變兩次，則與原來不等號方向一致（不發生改變）。

在解一元多次不等式時，仍可以利用變號零點的性質。畫出輔助草圖，x軸將滿足原式大于零（或小于零）分成一類，可以直接得到解題結果。

在解一元二次不等式時，所利用的拋物線，雖然看似性質比直線復雜，但是實質是一維的問題，我們所研究的范圍是拋物線上的所有點。而平面上的拋物線外的點，我們并不做研究。

當我們在研究二元一次不等式所表示的平面區域時，相比一元二次不等式，多了一個未知數y，這導致問題的維度增加了，我們將不能在一條線上研究這個問題，問題的范圍擴大到了整個二維平面，坐標平面上的所有點都是研究對象。此時，對于平面上的二元一次函數z=ax+by+c來說，ax+by+c=0是坐標平面上的一條直線，直線上的每一個點所對應的坐標，均滿足z=ax+by+c=0，是該函數的零點。二元一次不等式表示平面區域時，要先畫直線定界，ax+by+c=0將平面分為兩個開半平面，同一開半平面的點的坐標帶入函數z=ax+by+c，所得到結果正負號相同，不同開半平面的點的坐標帶入函數z=ax+by+c，所得到結果正負號相反，即同側同號，異側異號，當平面上的點從一個開半平面運動到另一個開半平面，要經過直線ax+by+c=0，對應函數值的正負號改變。這與解一元二次不等式時，利用變號零點的變號性求解解題思路一致。

利用這樣的思想再來看（x+y-1）（x-y-1）>0。

對于方程z=（x+y-1）（x-y-1），在平面直角坐標系上的零點，是兩條直線：x+y-1=0和x-y-1=0.而這兩條直線，保持了“變號”的性質。

兩條直線將平面直角坐標系分成“上“、“下“、”左”、”右”四個部分

先考察“左”部分，代入一點（0，0），（0+0-1）（0-0-1）>0

因此”左”部分的所有的點的坐標是原不等式的解 ，”上”、“下”兩部分，分別與”左”部分間隔一條直線，由直線作為零點的“變號”性質可知這兩個部分的點的坐標使（x+y-1）（x-y-1）<0，”上”部分與”右”部分以直線x-y-1=0為界，由直線作為零點的“變號”性質可知”右”部分的點的坐標滿足（0+0-1）（0-0-1）>0

最終得到本題所求平面區域如圖

被分成的四個區域中，不相鄰的兩區域的點的坐標對應的函數值正負號相同，由此我們得到一種較快的解題方法：任意找某個區域代點確定正負號，相鄰區域的正負號是相反的，確定所有區域的正負號，解出答案。

例：在平面直角坐標系中表示（a1x+b1y+c） （a2x+b2y+c） （a3x+b3y+c）>0的區域，（a1x+b1y+c）=0， （a2x+b2y+c）=0， （a3x+b3y+c）=0，三條直線將平面直角坐標系最多分成7個區域，任取一個區域代點確定正負號。

相鄰的區域正負號相反，確定所有區域正負號，找到所有解對應的點的集合，即原不等式對應的平面區域。