“變題”的方法與技術

鄧彥軍

關鍵詞：變題；相似；創新；最小值

執教二十年的我，隨時都在思考如何讓抽象的教學概念，數學問題與學生的生活實踐、知識儲備、思維規律相適應，打造高效課堂，提高教育教學質量，培養學生合作探究的習慣，提高發現問題、分析問題和解決問題的能力。形成良好的數學素養，為以后的學習和工作打下堅實的基礎。帶著這個夢想，我一直在教學一線上不斷嘗試“變題”的這一教學模式，使枯燥乏味的數學問題簡單化，使學生輕松的走出題海，取得優異的成績。

“變題”在數學教學中有著很重要的作用，通過變題可以加深對知識的理解，通過變題可以更加突出知識的本質，揭示知識的內在聯系，豐富教學方式，幫助學生學學會、會學、活學知識，從而激發學生的學習興趣，提高學生學習數學的能力。變題方法在教學中老師要善于分析問題，對問題進行有效重組，堅持求同存異的原則，提高習題的質量，這樣才能更好地進行變題訓練。

一、形式相似，本質類同式變題。此類變題較普遍，一般是在新知識講解中運用，引導學生進行正遷移，不僅利于掌握新知識，也能讓學生對已有知識加以鞏固。例如在講了平行線等分線線定理后有一道習題為：

已知：如圖1：AB//CD連接AC與BD相交于點M，過點M作MN//AB交BC于點W

求證：

證明：∵AB//MN CD//MN

即：（1）+（2）得：

故：

變題1（如圖2）當AB⊥BC CD ⊥BC垂足分別為點B C，連接AC，BD相交于點M ，過點M作MN ⊥BC ， 垂足為點N

結論 是否照樣成立？答案是肯定的。

∵AB⊥BC CD⊥BC MN⊥BC

∴AB//MN MN//CD 又回到上題中去了！

變題2（如圖3）若前提條件不變，AB=3 cm CD=4 cm

求 MN的長（利用前面結論即可求出）

變題3（如圖4）：連接AC與BD相交于點M，不過點M作平行線或垂線而是連接AD

則易證：（1）SΔBCM = SΔAMD

（2）SΔBCM.·SΔBCM = SΔABM ·SΔCMD

這一結論的運用在數學考試中會經常出現。

通過這樣形式相似本質類同的變題，可以讓學生將知識進行內在的聯系，主動建構知識，加深對知識的理解。

二、形式相似，本質不同。此類變題是以學生看似很難，但它還是不會脫手課本上所學的基本知識，只有吃透、理解、思考時才會得心應手，輕車熟路。例如，近幾年陜西中考題填空題的最后一題，都是求線段或面積的最大值或最小值，其實質還是利用了課本上：直線外一點與已知直線上點的所有連線段中，垂線段最短。

（一）變題1（如圖5）若點C是⊙O中AB弦上的任意一點且OC⊥CD 若AB=2 ；求CD的最大值

分析：連接OD 易知OD=R，在RTΔOCD中斜邊一定，要求CD最大值，只須OC最小或最短，即過點O向AB作垂線，垂足為點C，根據垂徑定理易知

變題2（如圖6）在RTΔABC中，∠C =900 AC=3 BC=4， ⊙C 的半徑為1，P點是AB上的任意一個動點，過P點向⊙C 引一條切線，則最短的切線長。

分析：∵切線垂直于經過切點的半徑

∴半徑一定，要切線長最短，只能PC最短

故：P點的位置應是過點C向AB做垂線時垂足的位置

易知

變題3（如圖7）在RTΔABC中，∠C=900 AC=BC=4，∠1=∠2，點Q和P分別是AD 和AC上任意一點，求CQ+PQ的最小值，且在圖中標出Q和P的準確位置。

分析：要使CQ+PQ最短，顯然要利用兩點之間線段最短，故過點C作CM⊥AB交AD于一點即為Q點，PQ要最短，易知過Q點作QP⊥AC，交點即為P點，易證QP=QM

所以，CQ+PQ=CQ+QM=CM=2

變題4（如圖8）在RTΔABC中∠C=900 AC=BC=2，D點是 AB上任意一點，求ΔPCD的周長最小值。

分析：要求ΔPCD的周長最小值CD的長度一定，因此只要PC+PD最短，故過點C作CO⊥AB且OM=OC，連接BM，AM，PM 易知四邊形AMBC為正方形， PM=PC，

故，PC+PD+CD=PM+PD+CD=MD+CD= +1

（二）如圖4-3- 8，點A的坐標為（-1， 0），點B在直線y=x上運動，當線段AB最短時，點B的坐標為（ ）.

A（0，0）

B（ ）

C（ ）

D（ ）

分析如圖4-3-8，先過點A作AB'⊥OB，垂足為B'，由垂線段最短可知，當點B與點B'重合時，AB最短。因為點B在直線y=x上運動，所以

∠AOB' =45°。

因為AB'⊥OB，所以△AOB'是等腰直角三角形，過點B'作B'C⊥x軸，垂足為C，所以△B'CO為等腰直角三角形，因為點A的坐標為（-1， 0），所以 ，所以點B'的坐標為（ ），即線段AB最短時，點B的坐標為（ ）.

答案 B

（三）如圖4-Z-8，直線y= x+ 4與x軸、y軸分別交于點A和B，C，D分別為線段AB，OB的中點，點P為OA上一動點，PC+PD值最小時，點P的坐標為（ ）

A.（﹣3，0）

B.（﹣6，0）

C.（﹣ ，0）

D.（﹣ ，0）

圖4-Z-8分析作點D關于x軸的對稱點D'，連接CD′交x軸于點P，此時PC+PD值最小，如圖4-Z-8所示，令y= x+4中x=0，則y=4所以點B的坐標為（0，4），令y= x+4中y=0，則 x+4=0，解得x=-6，所以點A的坐標是（- 6，0）.因為C， D分別為線段AB， OB的中點，所以C的坐標為（ - 3， 2），點D的坐標為（0，2）因為點D'和點D關于x軸對稱，所以點D'的坐標為（0， -2）.設直線CD'的函數表達式為y=kx+b（k|0）.因為直線CD'過點C（ - 3，2）， D' （0， -2）， 所以b= - 2①， -3k+b=2②，把①代入②，得k=- ，所以直線CD'的函數表達式為y= -.令y= -中y=0，則0=-，解得x= - 所以點P的坐標為（﹣ ，0），故選C

答案C

三、對變題的反思

一個人智慧的高低，可以從他思維的靈敏度、清晰度、廣泛度反映出來，我們要培養和造就無數的有慧心、有靈氣、會學習、有創新能力的人，就要教會科學的思維方法，挖掘自身潛能，提高學習效率和整體素質。通過變題的訓練，開闊了學生的視野，同時又取得了舉一反三、觸類旁通的效果，變題不僅能鞏固基礎知識，而且能深刻提示問題的內在本質屬性。多層次，多角度地培養和鍛煉發散思維能力。因此老師在講變題時，首先應注意基礎知識的教學，再發散他們的思維，但也不能設置過難、過偏的題形，這樣會讓學生感到不知所措。總之，變題后引導學生對問題進行觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括，讓學生體會變題帶來的樂趣，享受探究帶來的成就感，逐步養成學生獨立思考、積極探究的習慣，并懂得如何學數學。