雙曲線標準方程的推導及發現

左向陽

摘要：本文介紹了五種推導雙曲線標準方程的方法（移項平方法、直接平方法、分子有理化法、“余弦定理”法、“平方差”法），這些方法的由來是受教材思考題和例題的啟發，也為雙曲線方程的靈活運用打下了堅實基礎。

關鍵詞：雙曲線 方程 推導 啟示 發現

近期看文[1]，[2]，是關于橢圓標準方程的推導及其發現、領悟，于是想到，筆者在上雙曲線的標準方程時也可采用其它的方法來化簡。在推導雙曲線的標準方程時，大多數教師都會采用教材中的推導過程，有時教師提一下直接平方會更復雜一點，并順便否定其他的推導過程。事實果真如此嗎？本文筆者采用五種方法來推導雙曲線的標準方程，并試著沿教材編寫者的意圖來分析這樣處理教材的原因。

二、啟示與發現

僅從運算角度看，教材采用方法1的優勢并不是很明顯，那么教材這樣處理的意義何在？

通過筆者的教學，有以下發現。

1、（教材選修2-1）第55頁探究：點A、B的坐標分別是（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們斜率之積是-4/9，求點M的軌跡方程。

分析：設點M的坐標（x，y），那么直線AM，BM的斜率就可以表示成x，y的式子，由于它們斜率之積是-4/9，因此可以建立x，y之間的關系式，得出M的軌跡方程。

3、方法4在數學史上采用得并不多，現在大多數人根本不熟悉，盡管在推導過程中還得到了焦半徑公式：⑧式。方法5巧妙的利用了平方，從而避免了出現根式，再利用作差，就很簡單得出了雙曲線的標準方程。對學生來說也會覺得自然，在課堂上可以介紹給學生。

不同結構的數學式子具有不同的數學內涵，代表著不同的幾何意義，但它們表示同一圖形——雙曲線。采用方法1不僅讓學生得到了雙曲線的標準方程，還理解了雙曲線的不同描述，教學生完整的了解雙曲線標準方程的含義，對雙曲線各種表述留下較為深刻的印象，這樣也對雙曲線的領悟更深刻。反過來，這也使得單調、繁瑣的運算過程變得生動而有活力，為雙曲線方程的靈活運用打下了堅實基礎。更重要的是讓學生明白，變的是形式，不變的是本質這一科學道理。

參考文獻

[1]沈金興，數學文化視角下的橢圓標準方程推導[J]，數學通訊，2015.4下半月（教師）：1-3

[2]祝要輝，比較發現

領悟[J]，中學數學參考，2014年第12期（上旬）：2021