求一類二元函數最值的方法與技巧

鐘高介

摘要：在高中函數教學中，二元函數是一類常見的問題，求解二元函數最值的主要方法為導數或不等式的方法進行處理，本文將從高中的不同知識維度中尋求解決一類二元函數最值問題的方法與技巧，利用導數，不等式，不定方程，三角換元，線性規劃，向量，極坐標等不同知識維度對其進行分析，從而有效的解決一類二元函數的最值問題。

關鍵詞：二元函數;最值問題;方法技巧.

在高中教學中，處理函數的最值是常見的一種問題，處理一元函數最值問題常會在定義域內研究函數的單調性來確定函數的最值，或者借助基本不等式、柯西不等式等的取等條件求函數最值，但對于二元函數，有哪些處理的方法，是否還可以借用一元函數的方法，可以從哪些方面思考，本文將結合高中不同知識維度進行分析。

這是一道圓錐曲線中常見的共焦點的交點三角形問題，問題的特點是橢圓和和雙曲線共焦點且橢圓和雙曲線的交點與焦點構成的焦點三角形是求解圓錐曲線的離心率關聯的橋梁，我們可以作如下的探究求得到兩者離心率之間滿足的數量關系。

（六）利用導數求解

本問題是有條件的二元函數的最值問題，也會想到通過消元將二元函數轉化為一元函數進行求解，利用到導數研究函數的單調性進而求出函數的最值，故產生以下解法，

三、結束語

本文中涉及的問題的為一類有條件的二元函數最值問題，條件的特征為二次齊次式，可以聯系到圓錐曲線的標準方程，柯西不等式，向量的模長，二元二次方程，從不同的聯系，可以得到不同維度的思路出發點，再聯系到結論的二元一次齊次形式，可以將問題聯系直線方程，柯西不等式，向量數量積，二元一次方程，進而從已知和結論的思考中產生了圓錐曲線中用參數方程進行三角換元，聯立方程組求直線與曲線的交點，柯西不等式進行放縮，轉化為向量的數量積，線性規劃并數形結合的方法，若直接用條件方程進行消元，則將目標函數轉化為一元函數，可用導數求得最值。

在利用各種維度知識解題時，也各有優缺點，本問題用柯西不等式的方法來解，求最值和取得最值的條件都能比較容易求出，但消元為一元函數再利用到求最值時，方法的思路簡單，求導難度相對較大，轉化為圓錐曲線再用方程思想聯立也是順理成章的方法，雖然計算求最值容易，但是求最值取得的條件稍顯麻煩，若是如果用橢圓的參數方程進行三角換元，容易求得最值，但取得最值的條件難求，通過坐標變換轉化為圓與直線的關系時計算量相對較小，但是思維難度相對較大，若再轉化為向量數量積理解，其計算會變得更簡單，如果把圓的方程用圓的參數方程表示帶入目標函數求解也較為簡單，又或者用把問題轉化到極坐標系下，圓的方程更為簡化，目標函數即轉化為三角函數求最值，解題難度大大降低，故在解答數學問題時應該結合題目條件，依據結論選擇合適的知識維度，把問題分解為多個部分，從單維度或多維度綜合的角度去思考并解答問題是重要的策略。

同時不同知識維度之間有著背后的關聯性，如柯西不等式的證明方法中有一種就來源于向量的數量積的定義，所以此問題會有向量的方法和柯西不等式的方法，看似不同的兩個維度，實質在背后有重要的關聯，又如圓錐曲線與直線的位置關系的問題，常常會用到聯立方程組轉化為方程的問題進行求解，把一次方程看成是直線還是二元一次方程，在思考上就會出現不同，前者可以數形結合，再聯系線性規劃的知識理解最值取得的條件，后者即為討論不定方程組解的問題，兩者看似方向不同，但方程與曲線本來就有著數與形相互完美的結合，只不過在形與數結合時通過坐標變換可以把把數變得更簡潔，形變得更優美。

參考文獻：

1.【數學解題學引論】羅增儒著陜西師大出版社.

2.【解題研究】單墫著上海教育出版社.

3.【高中數學教材】，選修2-1，人民教育出版社.