構造法在高中數學解題中的有效應用

唐吉忠

【摘 要】隨著新課改不斷深入，對高中生的能力也提出了越來越高的要求。因此，高中數學教師除了要針對學生進行數學題訓練，還應該積極轉變他們的思維，也就是運用一類問題的性質來解決另一類問題。其中，構造法就能夠將“未知”量轉化成“已知”量，從而不僅有助于學生解決數學問題，而且還培養了他們的觀察、分析和創造能力。基于此，本文重點分析了構造法在高中數學解題中的有效應用。

【關鍵詞】構造法;高中數學解題;應用

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）28-0156-02

1? ?構造方程（組）

方程主要用來表示兩個存在相等關系的數學式，是一個包含未知數的等式，二者之間常常使用等號“=”連接。方程無須以逆向思維進行思考，可以直接列出含有未知數的等式。

方程構造法是高中數學解題中的一種常用方法。另外，方程還是高中數學中的一個重要解題思想，往往能夠同函數相結合，按照問題條件中的數量關系來構建等量方程。然后，再分析此方程中的未知數關系，并運用已知數據進行相應轉換，從根本上處理抽象問題，這不僅充分調動了學生的數學學習積極性，而且還能夠大大提高學生的解題質量和速度。除此之外，采用方程構造法進行解題的過程中，還有助于提高高中生的觀察和思維

能力。

例1：已知（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，證明x，z，y是等差數列。

解題思路：實際上，證明此道題的方法較多。其中，構造法既是一種最簡便的解題方法，同時還是學生比較喜歡采用的一種方法。當他們發現等式右邊為0時，較易將其同一元二次方程中判定根的方法相結合。因此，學生可以列出一個關于（z-x）2-4（x-y）（y-z）作為判別式的方程，這一方程是（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0，接著，列出Δ=（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，因此，構建出的方程含有一對相等實根。由于（x-y）+（z-x）+（y-z）=0，因此，兩

個實根均是t=1。按照韋達定理可以得出，t2=，從而得出了2y=z+x，因此，x，z，y為等差數列。

例2：已知a，b，c是實數，假設（a+c）（a+b+c）<0，求證：（b-c）2>4a（a+b+c）。

解題思路：根據需要證明的不等式可以聯想到b2-4ac這個一元二次方程根的判別式，從而構建出f（x）=ax2+（b-c）x+（a+b+c），因此，只需證明方程f（x）=0有兩根，或f（x）與x軸相交就可以。當a=0時，根據已知條件可以得出b≠c，相反，要是b=c，c（b+c）<0<=>2b2<0不成立。當a≠0時，假定f（x）=ax2+（b-c）x+（a+b+c），由于f（0）=a+b+c，f（-1）=2（a+c），加之（a+c）（a+b+c）<0，因此，f（0）·f（-1）<0，因此，f（x）圖像與x軸相交，最后得出（b-c）2>4a（a+b+c）。

由此可見，方程構造法在高中數學解題過程中的應用，既能夠減少數學題的難度，同時還提升了學生的思維能力以及學習效率。

2? ?構造函數

在高中數學解題教學的過程中，教師的主要教學任務就是培養學生的解題思想。事實上，數學問題均包含了函數思想。因此，在解決代數和幾何等數學問題的過程中，要是能夠把有關問題重新構造成函數問題，就可以節約大量解題時間，既培養了學生的數學思維和創新能力，同時還激發出了他們的數學學習熱情。

例3：在x∈（0，+∞）這區間內，證明x>ln（1+x）。

解題思路：設g（x）=x-ln（1+x）。由x∈（0，+∞），因此，g'（x）=1-，而且在此區間內，x+1一直比1大，因

此，一直比1小，為此，g'（x）一直比0大。還由于g（x）在x=0處連續，因此，在（0，+∞）這一區間內，g（x）為增函數。從而得出g（x）>g（0）=0。x-ln（1+x）>0，最終得出結論：x>ln（1+x）。

例4：已知函數f（x）的定義域是R，f（0）=2，x∈任意R，f（x）+f’（x）>1，求證：不等式ex·f（x）>ex+1的解集。

解題思路：首先，采用構造法構造函數g（x）=ex·f（x）-ex，然后再按照問題條件，通過移項合并，得出g’（x）=ex·（f（x）+f’（x））-ex>0，所以，g（x）是R上的增函數。另外，根據已知條件還能夠得出，g（0）=e0·f（0）-e0=1，因此，g（x）>g（0），最后得出結論x>0，從而求得x的解集是{x∈R，x>0}。

采用函數構造法解決數學問題不僅清晰明了，而且還簡單易懂，除此之外，還具有較強的靈活性。因此，對其加以應用時，一定要有針對性地進行構造，緊扣解題

目標[1]。

3? ?構造圖形

大量高中數學教學實踐表明，大多數高中生都不喜歡學習理論知識，這主要是由于數學理論比較抽象難懂，從而限制了學生的思維。然而，讓學生結合問題條件將相應的圖形畫出來，卻有助于他們深入理解題干，還能夠充分調動起他們的學習積極性。由于圖像能夠使學生產生一種直觀體驗，因此圖形構造法是解決數學問題的一種有效方法[2]。

例5：已知α、β、γ均為銳角，cos2α+cos2β+cos2γ=1，求證：tanαtanβtanγ≥2。

解題思路：高中生看到三角函數就較易將其同長方體中的對角線和棱組成角的有關性質相結合，基于此，高中生可以構建出相應的三角形。并分別設長方體的長、寬、高為a、b與c，并且在點B相交的三條棱與對角線BD1間的夾角分別為α、β和γ。所以，可以將之前的三角不等式變換成適當的代數不等式，最后得出結論：tanαtanβtanγ≥2。

4? ?結語

綜上所述，高中生在學習數學知識的過程中，倘若根據思維定式難以探究解題思路與方法時，可以針對不同的數學問題采用相應的構造法，以此來培養學生的創新思維和創造意識，從而有助于提高他們現有的解題能力。其中，函數、方程、圖形和模型構造法均屬于高中數學解題過程中的常用方法，這些構造法能夠幫助學生探究出合適的解題思路與方法。由此可見，針對構造法在高中數學解題中的運用展開深入研究顯得十分必要。

【參考文獻】

[1]馮旭明.淺談構造法在高中數學解題中的應用[J].數理化解題研究，2017（7）.

[2]何憶捷，熊斌.中學數學中構造法解題的思維模式及教育價值[J].數學教育學報，2018（2）.