如何在概念課教學中落實數學抽象

胡志紅 楊會濤

2018年12月，邢臺市高中數學優質課比賽在邢臺市第五中學舉行，優質課的主題是：“如何把數學核心素養落實到課堂”，其中有一個指定題目是人教A版選修1-1中的《變化率問題》，本節課的基本思路如下：

1.問題情境：（1）從吹氣球問題出發抽象出平均膨脹率的概念;（2）從高臺跳水問題出發抽象出平均速度的概念;（這兩個過程都體現了數學抽象的素養）

2.歸納定義：通過比較平均膨脹率和平均速度的表達式，二次抽象出平均變化率的概念。（這個過程又一次體現了數學抽象的素養）

3.幾何意義：引導學生直觀想象出平均變化率的幾何意義。（這個過程又一次體現了直觀想象的素養）

4.簡單應用：利用平均變化率研究兩個實際問題---排污量的平均變化率和體溫的平均變化率;（這個過程又一次體現了數學建模的素養），最后給出一個探究問題：在高臺跳水時，求運動員在這一時間段的平均速度，這個問題為下節課的瞬時變化率做鋪墊。（這個過程又一次體現了數學運算的素養）。

綜觀整個概念課的教學過程，本節課的難點是：如何引導學生抽象出“平均膨脹率”的概念。這個難點的突破也為我們研究在課堂中落實“數學抽象”這一核心素養提供了最好的載體。數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養。2017版課程標準指出“通過高中數學課程的學習，學生能在情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經驗;養成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣，把握事物的本質，以簡馭繁;運用數學抽象的思維方式思考并解決問題。”

在聽課過程中，教師甲和教師乙采用了不同的方案從吹氣球這一現實情境中抽象出數學概念。

我們先看教師甲的方案：

師：我們在吹氣球時，隨著氣球內空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢嗎？

（為了解決這個問題，設計了如下的探究問題。）

探究一：這里涉及的兩個變量分別是什么？

探究二：兩變量間的關系可以用什么樣的表達式來體現？

探究三：根據以上表達式，計算出當氣球內空氣體積V分別為1L、2L、3L、4L時，相應的氣球半徑是多少dm？

探究四：“隨著氣球體積的增大，氣球的半徑增加得越來越慢”該怎樣理解？

探究五：氣球體積從1L-2L和從2L-4L這兩個過程，哪一個過程半徑增加得比較慢？

探究六：平均每增加1L氣體，半徑的增加量（平均膨脹率）=？

探究七：當氣球內空氣容量從V1增加到V2時，氣球的平均膨脹率是什么？

教師甲在落實數學抽象這一核心素養這一過程中使用數據來引導學生理解“隨著氣球體積的增大，氣球的半徑增加得越來越慢”這一句話，在學生理解這一句話的同時，順其自然的誕生了“平均膨脹率”這一重要的概念。

我們再看教師乙的方案：

師：探究一：“小明2015年身高是140cm，2018年身高是155cm;小麗2016年身高是140cm，2018年身高是152;這兩名同學誰長的更快呢？有的同學說，小明155-140=15，小麗：152-140=12，15>12，所以小明比小麗長得快，答案對嗎？為什么？”

探究二：“在吹氣球時，隨著氣球內空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢”，從數學的角度，如何描述這種現象呢？

探究三：這里涉及的兩個變量分別是什么？兩變量間的關系可以用什么樣的表達式來體現？

探究四：“氣球的半徑增加得越來越慢”的意思是“隨著氣球體積的增大，當氣球體積增加量相同時，相應半徑的增加量越來越小，根據探究一從數學角度進行描述就是：隨著氣球體積的增大比值越來越小？這個比值就是平均膨脹率。”

探究五：根據以上表達式，計算氣球體積從0L-1L，1L-2L，2L-2.5L以及2.5L-4L的平均膨脹率？

教師乙為了落實數學抽象素養從學生初中學過的簡單問題入手，讓同學們經過探究，比較輕松地理解“平均膨脹率”的概念。

章建躍博士提出：“好的開頭是成功的一半，情景的引入對后續的學習有重要的作用，問題情境的創設一定要遵循‘在學生思維最近發展區內提問’”。這兩位老師都對問題情境的創設進行了精心的設計，使學生通過這一節課的學習，能在情境中抽象出數學概念，積累從具體到抽象的活動經驗。

（本文為河北省教育科學研究“十三五”規劃課題《高中數學核心素養在高中數學課堂教學中的實施行動研究》（課題編號：1604350）的研究成果。）

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗版）[M].北京：人民教育出版社，2003.