從分析分式方程增根例談學生數學思維能力培養

李健

【摘要】在初中分式方程的教學中，我們會碰到分式方程增根與無解的情況，教材中內容簡單，要求也不高，教師在處理教材時，一般不會深入挖掘教材。如果我們去深入挖掘，那么這個內容是培養學生數學思維能力的好素材。筆者在課堂教學和練習中不斷強化數學思辨，注重培養學生的數學思維能力。

【關鍵詞】分式方程;增根;數學思維;能力培養

數學思維能力是數學能力的核心，它包括：分析能力、概括能力、抽象能力、判斷能力、推理能力、探索創造能力，而其中分析、概括、抽象是思維能力的基礎表現，判斷、推理是思維能力的發展表現，探索創造是思維能力的高級表現。

學生數學思維能力的培養不是一朝一夕的事，它是一項長期的系列化的過程，需要數學教師在教學中有培養學生數學思維能力的意識，并長期堅持，針對教材內容發掘教學內容的內涵，進行有計劃、循序漸進地培養。下面筆者以分析分式方程增根為例，談談學生數學思維能力的培養。

在講初中數學分式方程增根的時候，如果我們只從應付中考的角度去思考的話，只要讓學生明白兩個問題即可：一是分式方程產生增根的原因;二是如何判斷增根。教學內容非常簡單，學生也很容易掌握，但是我們從培養學生思維能力的角度去分析、挖掘，效果就完全不同：

一、通過分析、概括、歸納，找到產生增根的原因和判斷增根的方法，培養學生的基本思維能力

例：解分式方程：

生：解：方程兩邊同時乘以x-1得：x2-（2-x）=0

即 x2+x-2=0

（x-1）（x+2）=0

∴x=1或x=-2

師：將∴x=1或x=-2代入原方程試試，看有什么發現？

生A：x=-2時，方程成立，但x=1時，原方程分母為0。

生B：x=1時，原方程分式中有分母為零的現象，但分母是不可以為零的，x=1應該不是原方程的解。

師：同學們分析解方程的步驟，能否發現或找到使分母為零的原因？

生A：因為我們在將方程中的分式化為整式時是將方程兩邊同時乘以了（x-1）

生B：兩邊同時都乘以（x-1），應該沒有問題呀。

師：同學們，我們分析一下下面的這個現象：①5=5，②4≠5

現在我們將它們的兩邊都乘以2：

5×2=10，5×2=10

4×2=8，5×2=10

5×2=5×2

4×2≠5×2

現在我們將它們兩邊都乘以0，再看一下結果：

5×0=0，5×0=0

4×0=0，5×0=0

5×0=5×0

4×0=5×0

師：這個現象說明什么問題？

生A：將兩個不等的式子兩邊都乘以零，可使原來不等的式子變成相等。

師：能否舉些例子？

生A：如與-2，≠-2，

但×0=0，-2×0=0

×0=-2×0

師：在上述解方程時，將所有項都乘以了（x-1），這個（x-1）的值有幾種可能？

生A：3種，正數、零、負數。

生B：2種，①x-1=0，②x-1≠0

師：兩位同學按不同范圍來分都對。

師：請大家思考當x-1=0時，將方程兩邊都乘以（x-1），可能會出現什么問題？

生A：方程兩邊都為零。

生B：方程兩邊原來可能不等，但兩邊都乘以零后，就相等了。

師：很好。當x-1=0即 時，方程兩邊可能由不等變相等，也就是x=1本來不是原方程的根，但因x=1時就是x-1=0，所以兩邊同時乘以（x-1）（即乘以0）而使方程成立，變成了方程的根，也就是增加的根。

師：分式方程產生增根的原因是什么？

生：方程兩邊乘以一個為零的式子。

師：而這個可能為零的式子是怎么確定的？

生：是分式方程中各分式的公分母。

師：請大家歸納一下分式方程的解題步驟。

生：解分式方程步驟：①找分式方程各分式的公分母;②方程兩邊都乘以公分母，將分式方程化為整式方程;③解整式方程;④檢驗。

師：在檢驗時，用什么來判定求出的根是否為增根？

生：使公分母不為零就行。

通過這種分析、概括、歸納的思維過程，學生深刻理解了數學知識的內涵，形成了一種良好的思維習慣和能力。

二、通過判斷，掌握分式方程的解法和各種形態，培養學生的判斷、推理思維能力

1.通過解分式方程，讓學生掌握分式方程的步驟，培養學生應用思維能力

例：解分式方程：

生：解：方程兩邊同時乘以x+1，得：4x+3x+x2=0

（x+1）（x+3）=0

∴x=-1或x=-3

經檢驗：當x=-1時，分母x+1=0， ∴x=-1是增根

當x=-3時，分母x+1≠0，∴x=-3是原方程的根

2.通過判斷，掌握分式方程解的情況的各種類型，培養學生深度應用思維能力

師：以上三題最后結果都是“無解”，能否發現它們的不同之處？

生A：①③都是無解，②是無實數解。

生B：①可以求到一個增根，無解，②是無實數根，③根本不成立。

師：①③實際上是同一類問題，都不可能成立，②在實數范圍內無解，言外之意，在實數范圍外有解。但從表現形式上分類：一類除增根外，無其它解，一類是根本無解。

三、改變提問方式，通過推理得到解決新問題的方法，培養學生逆向思維能力

在分式方程學習中，教師注重分析、概括、歸納，而往往忽視逆向思維的培養，造成學生思維受約束，思維不靈活，導致學生能力不強。若我們在教學中善于轉變提問方式，可能讓學生“舉一反三”，靈活運用。

例：已知無解，求a的值。

師：此題就是的變形提問，將原來“已知a”分式方程無解，轉換為“已知分式方程無解”求a。

師：你們能否找到這個題的解題思路？

生A：剛才講了分式方程無解有兩種情況：一類只有增根，無其它根，一類是根本無解。

生B：本題可否可分兩種情況討論，一是只有增根，也就是找分母為0的未知數值，二是分式方程化為整式方程后，等式不成立。

師：同學們分析得非常好，對前面的內容理解到位，大家一起完成解答。

師生解：方程兩邊同乘以3（x-3）得：2x+9=12x+3a+6x-18

16x=27-3a

師：16x=27-3a可能是一個恒不成立的式子嗎？

生：不會，因為任意給一個a的值，都有一個x的值。

師：既然如此，就只剩下另外一種情況，什么情況？

生：取增根x=3，而無其它根。

此時，水到渠成：∴a=-7

再變換，例：已知無解，求a

師：此題如何？

生：方法一樣！（哈哈）

解：方程兩邊同時乘以3（x-3）得：2x+9=3（ax-7）+2（3x-9）

（4+3a）x=48

師：是否兩邊同時除以（4+3a）？

生A：是。

生B：不行，因為不知4+3a是否為0。

師：非常好，分兩種情況：

師生共同：①當4+3a=0時，即a=時，方程不成立，所以原方程無解。

②當4+3a≠0時，取增根x=3，即

∴a=4

這樣的逆向提問讓學生深度學習，深度理解，培養了學生深度思維。

四、擴展問題外延，通過探索創造拓展知識應用，培養學生的發散思

維和創新思維能力

學生在學習中要善于發現問題，教師在教學中要著手創建問題，擴展問題的外延，這樣才能讓學生視野開闊，創新發展。

例：已知的解為正數，求a的取值范圍。

師：這題與前面講的有何相同和不同？

生：式子相同，問題不同。

師：能找到解題思路嗎？

生：能。

解：方程兩邊同時乘以3x-9得：2x+9=3x+3a+6x-18

a）師：是否就考慮a<9？

生A：是。

生B：不對，應該還要滿足x≠3

師：真棒。

例：的根為負數，求 的取值范圍。

師：此題解題思路難找嗎？

生：不難，同上題。

師：有區別嗎？

生A：有，方程不同。

生B：上一題x≠3，這一題x≠-1且x≠2

師：非常棒。

師生共同：解：方程兩邊同時乘以（x-2）（x+1）得：

∵方程根為負數。