淺論多項式視閾下庫存與利潤問題的解決

劉曉雨　鄒燕

摘要：庫存問題一直以來是困擾我國企業的難題。庫存問題在公司實際的經營過程中有著重要的作用：一方面，它能夠滿足市場，給企業帶來很多利益；另一方面，保持著過高或者過低的庫存都會給企業帶來很多更多的庫存成本和缺貨損失。所以，企業對于庫存的管理非常重視，而庫存問題的分布屬于不確定分布，實際上，只需要利用一些方法找到庫存問題的最差分布，使得庫存成本在最差的分布上最小，也就得到了最大的利潤，那么，該利潤就是所有分布中的最小利潤，但使它達到最大，也就找到了庫存問題的最優解。而魯棒問題是由Scarf最先提出的。對于存貨難題的最小最大問題，Scarf在之前研究者研究的基礎上，又做出了新的貢獻，也就是利用多項式逼近的方法，對兩點分布進行分析，找到最差的分布，使得利潤最大，進而解決存貨難題。

關鍵詞：多項式；庫存；利潤；問題；解決

一、函數與利潤

顯而易見的是，企業中產品的銷量應該是需求量與采購量中的較小者，并且利潤是銷售額減去成本。

當需求分布未知的時候，并且只是已知均值與方差的情況下，需要先找到利潤函數的最小值，進而轉化成需求分布已知的情況。由于原來的銷量模型具有拐點，并且其圖形接近于二項式分布，而多項式連續可求導，所以Scarf利用多項式逼近的方法找到了利潤函數，并且根據多個引理，利潤函數與多項式相等的情況將在兩點分布中取得。

此時，只需要求出兩點分布中的兩點。通過對上述式子的求導以及代數，我們可以找到多個方程，聯立這些方程，我們就可以計算出兩點分布中的兩點。那么在求出這兩點后，該分布也已知，進而我們就將這一情況轉化為了已經分布的情況，就可以利用上一情況求解。但是，在此模型中，我們并沒有考慮存在殘差的情況，也就是沒有考慮需求和銷售不對等的情況。所以，在存在殘差時，我們將假定殘差是線性的，只需要在模型后加上殘差，并不會對該模型產生較大的影響。這也就是論文在一開始就假定不存在殘差的原因，這樣既可以簡化模型，還不會對模型產生較大的影響。論文中的創新點是引入了多項式逼近的方法，這一方法對最小最大問題領域的研究產生了較大的影響，解決了存貨難題中的難點進而解決了庫存最小最大問題。

二、利用線性規劃解決利率最大化

對于解決利潤最大化和成本最小化問題中還可以使用線性規劃。隨著現在我國經濟社會不斷的發展，線性規劃在我國資源配置等方面起著重要的作用。線性規劃的實質就是解決在有限的人力、物力、財力的情況下，實現資源的最優配置。在實現利潤最大化和成本最小化中，可以將其看作線性規劃問題中的對偶問題。

對偶問題的經濟意義是：若原規劃問題是解決資源的最優配置問題的，則它的對偶問題就是求解資源的使用價值的，對偶問題的最優解則給出了各種資源最優配置的經濟估計。建立模型之后，為了更方便的求解，通常把線性規劃問題化為標準模型，化為標準模型后可以利用圖解法，單純形法等方法求解。在可用資源發生變化時，可以利用靈敏度分析來分析資源變化對最優解的影響。在使用靈敏度分析時，首先在單純形表上改變參數，檢查是否是原問題和對偶問題的可行解，若是，則最優解不變，反之，則需要對單純形表進行迭代求出最優解。這種方法可以用于研究政府在實施一項比較重大的經濟政策后將會對國民經濟造成的影響，而在方案評價中靈敏度分析可以用來研究當一些條件發生變化時備選方案價值的變化情況。

三、利潤與庫存最大化

利潤是總收入減去了會計成本和機會成本等總成本。公司生產和經營的目標是能夠將利潤最大化。但是，什么是最大的利潤？廠商從事生產或出售商品的目的是為了賺取利潤。如果總收益大于總成本，就會有剩余，這個剩余就是利潤。值得注意的是，這里講的利潤，不包括正常利潤，正常利潤包括在總成本中，這里講的利潤是指超額利潤。如果總收益等于總成本，廠商不虧不賺，只獲得正常利潤，如果總收益小于總成本，廠商便要發生虧損。

Scarf利用多項式逼近的方法解決了存貨難題中的最小最大問題，為這一問題的解決提供了新的方法，而利用線性規劃模型能夠為企業制定生產計劃提供有力的依據，根據線性規劃的結果合理的制定生產計劃，能夠使企業以最優的成本獲得最大的利潤。但是，由于原料價格等波動，需要綜合市場等因素，所以還需要通過修正參數等方法對模型進行進一步的優化和改善。

存貨難題下的最小最大問題具有魯棒性，魯棒是Robust的音譯，也就是健壯和強壯的意思。它是在異常和危險情況下系統生存的關鍵。比如說，計算機軟件在輸入錯誤、磁盤故障、網絡過載或有意攻擊情況下，能否不死機、不崩潰，就是該軟件的魯棒性。所謂“魯棒性”，是指控制系統在一定（結構，大小）的參數攝動下，維持其它某些性能的特性。根據對性能的不同定義，可分為穩定魯棒性和性能魯棒性。以閉環系統的魯棒性作為目標設計得到的固定控制器稱為魯棒控制器。魯棒線性優化求解的是在數據有干擾的情況下的最優解。它與一般線形優化問題的區別在于，它的數據不是確定的值，而是一組會在某確定區間里浮動的值，但是在這種情況下我們仍然可以求得一個最優解，使得它適用于這些干擾的數據，也就是說我們的解是robust的。所以，它具有一些缺點：

[1]魯棒優化問題本身具有很大的保守性，這種保守性使得在不確定程度很大的情況下，優化值離最優值之間存在著較大的差異。

[2]若已知需求均值和方差，對于集成供應鏈，采取魯棒訂貨策略將會損失一定數量的利潤，而對于分散供應鏈，采取魯棒訂貨策略將會使供應鏈的利潤提高，因此將會有很好的效果。

[3]作為管理科學和運籌學的核心思想之一的最優化思想，已經被廣泛的應用在經濟、金融、計量等研究領域，比如計量中對模型參數的估計就是遵循最優化的思路。

總結

Scarf為后來的研究者提供了一個新思路，也就是利用多項式逼近的方法解決最小最大庫存問題中的難點，進而解決了庫存最小最大問題。雖然在后來研究者研究過程中，這一多項式逼近求解的方法有一些缺陷，但是不可否認的是，這一方法確實突破了庫存最小最大問題中的瓶頸，所以后來人對它的評價總是好大于壞。而在它的基礎上，后來的研究者得到了更多的方法求解這類問題。

參考文獻：

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[4]精益倉儲管理實戰手冊（圖解精華版）.[J]楊華.化工工業出版社.2018.6

作者簡介：

劉曉雨，出生于1998年1月，在讀本科，現讀于煙臺南山學院商學院工程管理系工程管理1603。

鄒燕，碩士研究生，現就職于煙臺南山學院商學院。