高中數學建模的設計與思考

葉根福

【摘? 要】數學建模是應用數學知識解決實際問題的基本手段，也是推動數學發展的動力。作為高中數學六大核心素養之一，新課標已明確把數學建模列入高中數學課程。但如何使這一核心素養在課堂教學中落地，仍然是我們高中數學教師的短板。近日，筆者參加了杭州市優質課評比，課題為新課程標準附錄中的一個案例——體重與脈搏，經過反復地備課、磨課和上課，收獲頗多。本文嘗試通過作者對這節課的設計、思考與研究，為高中數學建模的設計提供示例，從而起到拋磚引玉的作用。

【關鍵詞】高中數學;建模設計;體重與脈搏

一、過程設計與意圖分析

（一）發現問題，提出問題

教師：都說“數學來源于生活又應用于生活”，其中應用于生活是指利用數學知識解決生活中的實際問題，也就是我這節課的主題——數學建模：體重與脈搏。

教師：醫學研究發現，動物的體重與脈搏存在著一定的關系。若能明確這個關系，則有助于更方便、更有效地認識人類心臟病的發生、發展規律和研究預防措施，所以研究動物的體重與脈搏的函數模型意義重大。那么如何建立兩者之間的函數模型呢？

設計意圖：給出所要研究問題的背景，讓學生體會意識到建立體重與脈搏函數模型的必要性。

（二）選定對象，收集數據

教師：那么要建立體重與脈搏之間的函數模型，首先我們要做什么？

學生：收集一些動物的體重與脈搏的數據，用來加以研究。

教師：很好，這是數學建模非常重要的一個環節，收集的數據準確與否直接影響后面我們所建立的函數模型是否符合實際。只不過由于時間、空間與道具的限制，這一環節沒能在本節課上進行，這是通過大量測量以及大數據分析得到的一組動物的體重與脈搏的數據：

鼠（25，670），大鼠（200，420），豚鼠（300，300），兔（2000，205），小狗（5000，120），大狗（30000，85），羊（50000，70），馬（450000，38）。

設計意圖：雖然課堂時間有限，還是要讓學生理解數據收集這一環節的重要性，當然，如果條件允許，提前布置學生進行課前數據收集則效果更佳。

（三）直觀呈現，散點作圖

教師：得到這些數據后，我們要怎么處理？

學生：為了使兩組數據能更加直觀地呈現出來，可以在直角坐標系中描點，畫出散點圖。

教師：很好，請同學們動手試一試。

學生動手作圖，教師巡視，從中挑選幾位學生代表進行實物投影，并對所畫散點圖進行點評與指導。（學生作圖過程中自然能體會到由于數據很大，此處作圖比較困難，前幾組數據橫坐標的差異很難在圖中體現出來，只能作出簡圖。）

設計意圖：讓學生經歷散點作圖的過程，體會散點圖的作用。同時也為后面通過對數據處理簡化模型做好鋪墊。

（四）回顧舊知，選擇模型

教師：根據散點圖的走勢，你會選擇什么函數模型？請列舉你熟悉的函數模型。

學生：一次函數，反比例函數，二次函數，指數函數，對數函數，冪函數等。

設計意圖：讓學生回顧熟悉的函數模型，利于模型選擇。

（五）利用數據，求解模型

教師：初步觀察散點圖的走勢，你會選擇什么函數模型？

學生：反比例函數模型[fx=kx]。

教師：好，根據你選擇的函數模型與測量數據，請同學們求出函數模型（每四人一個小組合作完成）。

學生1：我們組選了點（25，670），得到函數模型[f1x=16750x]。

學生2：我們組選了點（200，420），得到函數模型[f2x=84000x]。

學生3：我們組選了點（450000，38），得到函數模型[f3x=17100000x]。

……

（六）結合實際，檢驗模型

教師：如何檢驗你所求出的函數是否符合實際呢？

教師：統計學中有多種方法刻畫，其中使我們高中生比較容易理解的是用該函數模型的殘差平方和大小來刻畫。設測量數據為（[xi]，[yi]）[i=1，2，3，……，n]，擬合函數為[y=fx]，殘差平方和

[SSE=y1-fx12+y2-fx22+……+][yn-fxn2]。

教師利用幾何畫板軟件給出新概念殘差平方和的幾何解釋即圖中的[n]條線段的平方和，并通過動畫引導學生得出殘差平方和（[SSE]）越小，函數模型擬合程度越好。

教師：請同學們計算你們小組得到的函數模型的殘差平方和，并判斷所得模型是否符合實際。

學生1：我們組得到的函數模型是[f1x=16750x]，殘差平方和[SSE=238391.7]，故該模型不符合。

學生2：我們組得到的函數模型是[f2x=84000x]，殘差平方和[SSE=7286573.6]，故該模型也不符合。

設計意圖：通過計算殘差平方和，讓學生學會如何整體檢驗一個函數模型是否符合實際。

（七）深入探究，合理優化

教師：數學建模過程中，得到不符合實際的函數模型是很正常的，需要我們不斷的嘗試。那如何重新選擇函數模型呢？

教師引導學生分析反比例函數模型[fx=kx]不符合是由于下降速度不符，而函數[fx=kx2]，[fx=kx3]等函數圖像也有類似走勢，從而引導學生重新選擇模型時可設函數模型為[fx=kxa]。

教師：好，請同學們利用數據再次合作求出函數模型。（學生合作計算，教師巡視）

學生（部分過程教師引導）：我們組選擇點（25，670），（450000，38），把點代入[y=fx=kxa（a>0）]得：[k25a=670k450000a=38]，兩式相除得：18000[a=33519] ，故[a=log18000=33519≈0.2929，][k=1720.]0118，從而得到[y=fx=1720.0118x0.2929]。不難計算該模型的殘差平方和[SSE=4513.7]。

教師：很好，這個模型的擬合程度比前面得到的模型好了很多，下面我們通過圖像再次對比（此處圖略）。

教師：如果利用微積分的知識，我們可以求出最佳的[a]和[k]，使得殘差平方和[SSE]最小（即最小二乘法）。

教師利用統計軟件spss演示模型[fx=kxa]的最優解求解過程，得到最優解[fx=1790.9x0.298]，并從軟件中獲取該模型的殘差平方和。

設計意圖：得到不符合實際的函數模型后，引導學生通過對解析式的結構分析，重新選擇函數模型。

（八）利用模型，解決問題

教師：如何利用函數模型解決實際問題呢？

學生：根據動物體重可以估計該動物的脈搏。

教師：老師的體重為72千克，則可估計老師的脈搏為多少？

教師：進一步地通過對此問題的優化分析，可以將體重與脈搏的比例關系應用于現代醫學，進而達到預防疾病的目的。

設計意圖：通過實際問題的解決，使學生切身感受數學建模的意義。

（九）數據分析，簡化模型

教師：剛才我們在畫散點圖的時候，因為數據很大，所以畫起來很困難，那么我們是否可以對數據進行處理，達到大數化小數的目的呢？

教師引導學生分析如10，10[2]，10[3]，10[4]……等數只要確定它的指數即可得到原數，從而自然地引出取對數的思想。

教師：通過對體重與脈搏兩組數據，我們可以得到兩組新的數據，類似的，我們不難得到新的散點圖。

學生：顯然這兩組數據之間的關系更加清楚，不難想到選擇一次函數模型。

教師再次利用spss演示模型[fx=kx+b]的最優解求解過程，得到最優解[fx=-0.298x+7.489]， 從而得到ln[f=-0.298xlnw+7.489]，然后與學生一起小結得出兩者本質是一樣的，但通過數據處理更容易得到模型。

設計意圖：通過對數據取對數，達到簡化模型的目的，同時培養學生的數據分析的核心素養。

（十）課堂回眸，感悟分享

這節課我學會了……

學生：建立函數模型的基本步驟：

教師：史寧中教授曾說：“數學學習的最終目標是讓學習者會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界。”其中用數學的語言表達世界就是我們這節課的主題——數學建模。

設計意圖：通過小結，使學生更加清楚建立兩個變量函數模型的方法和步驟。首尾呼應，再次強調數學建模的重要性。

（十一）課后延伸，繼續探究

1.小結整理建立函數模型的方法與步驟。

2.學習閱讀材料，結合上課內容，寫一篇數學建模活動的研究報告。

二、幾點思考

本節課致力于發展學生的數學建模核心素養與數據分析核心素養。教師通過和學生一起經歷體重與脈搏函數模型的建立，使學生學會建立生活中兩個相關變量間函數模型的方法和步驟;通過函數模型建立的過程中的數據處理，使學生學會處理數據的基本方法。

蘇霍姆林斯基說過：人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個發現者、研究者、探索者。因此教師深入地研究學生已有的基礎、可能存在的問題及應對策略至關重要，才能真正實現讓學生在課堂上主動探究。

（一）要讓學生感受建模的必要性

數學是自然的，是從實際生活中來的，收集數據并建立函數模型，能架起數學與現實生活的橋梁。本節課教師要讓學生理解，建立體重與脈搏的函數模型對預防心臟疾病有重要意義，從而讓學生感受建立該模型的必要性。

（二）要讓學生經歷建模的過程

授人以魚不如授人以漁，教師只有讓學生親身經歷建模、檢驗、重新選擇模型、優化模型的過程，才能提高學生的建模素養與數據分析素養。本節課中反比例函數模型的選擇與檢驗，冪函數模型的再次選擇與檢驗，以及對數的數據處理方法等，都是讓學生經歷建模的過程，從而使兩大素養的培養在課堂教學中落到實處。

（三）要讓學體會模型的實用性

要想讓學生真正對數學建模產生濃厚興趣并不懈努力地提高自身的建模能力，教師就要讓學生體會到利用模型能有效地解決現實世界中的實際問題，切身體會數學建模的重大作用。

參考文獻：

[1]楊勇.用問題驅動探究，讓結論自主建構[J].數學通報，2019（4）.

[2]吳菁.建模為橋——聯結數學與生活[J].中國多媒體與網絡教學學報，2019（5）.

（責任編輯? 李 芳）