知其然，還須知其所以然

吳秋桂

摘要：教師可以通過(guò)錯(cuò)誤這樣一個(gè)特定的視角來(lái)了解學(xué)生掌握知識(shí)的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)真實(shí)問(wèn)題，從而采取相應(yīng)的補(bǔ)救措施;錯(cuò)誤對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)也是不可或缺的，是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)所學(xué)知識(shí)不斷嘗試的結(jié)果。

關(guān)鍵詞：錯(cuò)誤;粗心;錯(cuò)因探微

在學(xué)習(xí)過(guò)程中，錯(cuò)誤的出現(xiàn)是一件常見(jiàn)的事。與“錯(cuò)誤”相關(guān)度比較高的一個(gè)詞是“粗心”。我們常常聽(tīng)到這樣的話(huà)：“怎么又錯(cuò)了？真粗心！”“如果不是因?yàn)榇中牡脑?huà)，這回應(yīng)該考100分！”……“粗心”屬于學(xué)習(xí)態(tài)度范疇，粗心大意當(dāng)然是錯(cuò)誤形成的一個(gè)原因，但“細(xì)心”了就一定能避免錯(cuò)誤嗎？把錯(cuò)因籠統(tǒng)地歸結(jié)為“粗心”，不作具體分析，其結(jié)果只會(huì)“粗心”照犯，錯(cuò)誤不斷，掩蓋了真正的原因。因此，對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行系統(tǒng)研究就顯得非常重要：首先教師可以通過(guò)錯(cuò)誤這樣一個(gè)特定的視角來(lái)了解學(xué)生掌握知識(shí)的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)真實(shí)問(wèn)題，從而采取相應(yīng)的補(bǔ)救措施;其次錯(cuò)誤對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)也是不可或缺的，是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)所學(xué)知識(shí)不斷嘗試的結(jié)果。本文將以長(zhǎng)方形的面積計(jì)算為例，試圖回答：什么是錯(cuò)誤？學(xué)生會(huì)出現(xiàn)哪些錯(cuò)誤？這些錯(cuò)誤的原因是什么？特別地，對(duì)于長(zhǎng)方形面積計(jì)算來(lái)說(shuō)，為什么學(xué)生會(huì)經(jīng)常混淆周長(zhǎng)和面積的計(jì)算公式應(yīng)用？

正因?yàn)閷?duì)錯(cuò)誤的界定豐富多樣，所以對(duì)于錯(cuò)誤的分類(lèi)與分析也莫衷一是。在各種錯(cuò)誤中，學(xué)生作業(yè)中的錯(cuò)誤因其留下了書(shū)面痕跡，便于做進(jìn)一步的研究。

對(duì)學(xué)生作業(yè)中的錯(cuò)誤，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已作了許多有益的工作，至今仍方興未艾.特別是隨著建構(gòu)主義數(shù)學(xué)觀的興起，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)錯(cuò)誤又有了新的認(rèn)識(shí)。因此，如何診斷學(xué)生的錯(cuò)誤自然引起人們極大的興趣。要想得到正確的解答，必須掃清一系列障礙，其中的任何失誤均會(huì)影響解題的進(jìn)程，導(dǎo)致最后解題的失敗。在此意義下，從解題過(guò)程角度提出錯(cuò)誤的層級(jí)，將其分為5個(gè)水平：閱讀、理解、轉(zhuǎn)換、處理、編碼。其中，理解錯(cuò)誤指的是沒(méi)有掌握問(wèn)題中所有信息的意義;處理錯(cuò)誤指的是與算法有關(guān)的錯(cuò)誤;編碼錯(cuò)誤指的是書(shū)寫(xiě)錯(cuò)誤，如筆誤等。分為問(wèn)題形式、問(wèn)題閱讀、問(wèn)題理解、策略選擇、技能選擇、技能操作等6個(gè)層級(jí)，可以用來(lái)分析多步數(shù)學(xué)文字題中發(fā)生的錯(cuò)誤。另外，還有一種較為流行的錯(cuò)誤分類(lèi)方法是戴再平先生給出的，他把解題錯(cuò)誤分為知識(shí)性錯(cuò)誤、邏輯性錯(cuò)誤、策略性錯(cuò)誤、心理性錯(cuò)誤。

這些錯(cuò)誤的分類(lèi)方法從不同角度揭示了錯(cuò)誤形成的原因和結(jié)果。下面是筆者根據(jù)長(zhǎng)方形面積計(jì)算這一學(xué)習(xí)內(nèi)容所作的錯(cuò)誤分類(lèi)分析，盡管在分類(lèi)的邏輯性上存在著一些問(wèn)題，但從實(shí)踐的角度大致涵蓋了學(xué)生的基本錯(cuò)誤情況。

根據(jù)40位學(xué)生的課堂作業(yè)本、練習(xí)卷等120份，分析發(fā)現(xiàn)常見(jiàn)的錯(cuò)誤主要有：

錯(cuò)誤

類(lèi)型 序號(hào) 錯(cuò)誤分析 錯(cuò)誤示例 備注

概念性錯(cuò)誤 ① 單位寫(xiě)錯(cuò) 長(zhǎng)方形面積：7×9=63米（單位寫(xiě)錯(cuò)） 浙教版第6冊(cè)P78

② 周長(zhǎng)、面積計(jì)算方法混淆 一個(gè)長(zhǎng)方形的菜地長(zhǎng)12米，寬20米，在它周?chē)鷩匣h笆，籬笆至少要多長(zhǎng)？（錯(cuò)解：12×20=240平方米）

給一塊長(zhǎng)30厘米、寬20厘米的玻璃配一個(gè)木框，至少需要（錯(cuò)解：600）厘米長(zhǎng)，玻璃的面積是（100平方厘米）。 浙教版第6冊(cè)P79

方法性錯(cuò)誤 ③ 數(shù)學(xué)原型用錯(cuò)。

原型：周長(zhǎng)一定，（四邊形中）正方形面積最大。

誤型：三邊總長(zhǎng)一定（一邊靠墻），正方形面積最大。 用48米長(zhǎng)的柵欄圍成一個(gè)長(zhǎng)方形花壇（長(zhǎng)、寬都是整厘米數(shù)）其中一面利用圍墻，怎樣圍才能使長(zhǎng)方形花壇的面積最大？最大的面積是多少平方分米？

錯(cuò)1：48÷4=12dm 12×12=144dm2

錯(cuò)2：48÷3=16dm 16×16=256 dm2 【浙教版單元復(fù)習(xí)】

④ 未能形成明確的方法，當(dāng)?shù)谝徊酵瓿珊箅y以為繼。 一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都增長(zhǎng)5厘米后，形成了一個(gè)新的長(zhǎng)方形，它比原來(lái)的面積增加125平方厘米。原來(lái)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少厘米？

125-5×5=100平方厘米 100×4=400厘米 【浙教版單元復(fù)習(xí)卷】

直覺(jué)性錯(cuò)誤 ⑤ 面積的均分誤以為周長(zhǎng)也同樣均分。 一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是24分米，把它平分后，正好是兩個(gè)面積相等的正方形。每個(gè)正方形的面積是多少？

24÷2=12分米 12÷4=3分米

3×3=9平方分米 浙教版第6冊(cè)P79

⑥ 在用面積包含關(guān)系的方法求解時(shí)習(xí)慣性將問(wèn)題中的數(shù)據(jù)用盡。 一條便道長(zhǎng)15米，寬24米，用邊長(zhǎng)3分米的方磚鋪滿(mǎn)這條便道，需要這樣的方磚多少塊？

15米=150分米

150×24÷3=1200塊 【浙教版單元復(fù)習(xí)】（文字有改動(dòng)）

記憶性錯(cuò)誤 ⑦ 正方形面積公式用錯(cuò) 受某些數(shù)據(jù)影響，正方形面積計(jì)算公式特別容易用錯(cuò)：

填表：正方形邊長(zhǎng)25厘米，面積是（ ）。25×4=100平方厘米 【浙教版單元復(fù)習(xí)】

感知性錯(cuò)誤 ⑧ 單位沒(méi)有統(tǒng)一就直接計(jì)算 一張長(zhǎng)方形桌子，長(zhǎng)2米，寬8分米，桌面面積是多少？

2×8=16平方分米 【浙教版單元復(fù)習(xí)】

上面筆者分析了一些作業(yè)的錯(cuò)誤，在分析的時(shí)候常常被學(xué)生的錯(cuò)誤所惑，說(shuō)實(shí)在的，這些問(wèn)題在筆者和筆者同事的每屆學(xué)生都會(huì)碰到――特別是面積和周長(zhǎng)公式學(xué)生經(jīng)常要用錯(cuò)。著名小學(xué)數(shù)學(xué)教育專(zhuān)家顧汝佐先生在其《名師授課錄》中曾嘆：“長(zhǎng)方形面積計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的一個(gè)傳統(tǒng)內(nèi)容，推導(dǎo)出它的面積公式，并不太困難，學(xué)生也容易理解。問(wèn)題往往出在這節(jié)課以后一是周長(zhǎng)和面積的單位名稱(chēng)常常用錯(cuò)，二是周長(zhǎng)和面積的意義不易區(qū)分清楚。”顧先生的話(huà)一語(yǔ)中的，綜觀歷年來(lái)的教學(xué)設(shè)計(jì)，教學(xué)的重點(diǎn)都放在如何讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)公式，這當(dāng)然是必要的，有助于公式的意義理解。在前文中我們把面積和周長(zhǎng)公式用錯(cuò)歸結(jié)為概念性錯(cuò)誤，也是從這個(gè)角度說(shuō)明對(duì)于公式意義理解的重要性。

綜上，本文對(duì)長(zhǎng)方形面積計(jì)算中的錯(cuò)誤進(jìn)行了歸因，雖然未能全面、科學(xué)，但也大致上涵蓋了主要問(wèn)題。我們常常說(shuō) “錯(cuò)誤是一種資源”，如果會(huì)分析錯(cuò)誤的原因，就能有針對(duì)性地幫助學(xué)生或者改進(jìn)我們的教學(xué)，錯(cuò)誤就是師生成長(zhǎng)的資源;不能分析原因，就難以吸取教訓(xùn)，徒增煩惱而己。

參考文獻(xiàn)：

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[3] 戴再平.數(shù)學(xué)習(xí)題理論[J].上海教育出版社，1996（10）.

（作者單位：浙江省慶元縣城東小學(xué)）