淺析立幾中點線、點面的距離問題

顧晶晶

摘 要：立體幾何向來是高中數(shù)學中的一個重難點問題，也是備受關(guān)注的研究熱點。本文主要論述的是立幾當中點線或點面距離的幾種求解思路及學習方法，以促進學生對此類問題邏輯思維能力和解題能力的提升。

關(guān)鍵詞：立體幾何;點線;點面;線線（線面）垂直

立體幾何涵蓋了作圖能力、空間想象能力、邏輯思維能力和基本運算能力等。其中點到直線（或平面）距離問題常令學生頭疼不已，作為工作十多年的數(shù)學老師也是看在眼里，急在心里。于是筆者對這類問題作了如下總結(jié)和研究，以期在今后的教學實踐中起到更好的效果。

一、直接思路

（一）定義法

此法應(yīng)用的前提是學生能夠掌握住點線（點面）距離基本定義、會看圖、能夠運用基本定理等尋求或是證明線線垂直、線面垂直。

例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求：（1）A1到AC1的距離

（2）C1到面ABB1A1的距離

分析：（1）中的問題是點到直線的距離，很明顯我們希望涉及的三個點出現(xiàn)在同一個平面內(nèi)，故連接A1C1，A1B，而A1BC1是以面對角線為邊的正三角形，故轉(zhuǎn)化為求此三角形BC1邊上高的問題（線線垂直問題）。∴dA1-BC1=a

（2）∵C1B1⊥面ABB1A1，

∴C1B1長為點C1到面ABB1A1的距離，長度為a

注明：有時題目本身沒有提供圖形，則要自己認真、工整地畫出立體圖形，并區(qū)分好虛實線，再結(jié)合直觀圖來理解，才能順利解題。

（二）性質(zhì)法

例2正三棱錐P-ABC，已知側(cè)棱長為2cm底面周長為3cm，求此棱錐的高。

分析：由性質(zhì)知道頂點與底面中心的連線就是它的高，接下來的問題就是作輔助線解題。設(shè)底面中心為O，連接PO，則PO為正三棱錐P-ABC的高。再連接AO并延長交BC于E點，根據(jù)對稱性關(guān)系可以知道AE⊥BC，∵底面周長為3cm∴BC=1，AE=，再據(jù)比例關(guān)系可得AO=AE=，而PO⊥底面ABC。∴在Rt△POA中：易得PO=，即為所求的高。

（三）定理法

例3：已知ABCD為矩形，AB=3，BC=4，且PA⊥面ABCD，PA=1。

求：（1）C點到面PAB的距離

（2）P點到直線BD的距離

分析：（1）∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BC①

∵AB為PB在面ABCD中的射影，而在矩形中AB⊥BC

由三垂線定理得PB⊥BC②。故由①②得BC⊥面PAB

∴BC長即為所求C點到面PAB的距離，即為4。

（2）如果采用像例1（1）中連接PB，PD來構(gòu)造一個平面是行不通的，因為PB≠PD。則只能添加另外的輔助線，過P作PE⊥BD，相對于面ABCD而言PE為其一條斜線，聯(lián)想三垂線定理。故連線段AE，∵PA⊥面ABCD，∴AE為射影，∵PE⊥BD，∴AE⊥BD，則在Rt△BAD中，由面積相等法得：AE=12/5。∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AE。在Rt△PAE中，PE2=PA2+AE2，PE=13/5，即為所求P點到直線BD的距離。

間接思路（體積相等法）

例4、棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，求B1點到面A1BC1的距離.

分析：顯然B1A1，B1C1，B1B與面A1BC1皆非垂直關(guān)系，故定義法行不通，易判斷B1-A1BC1為正三棱錐，而A1B1⊥面B1BC1，即將A1視為頂點，那么B1BC1就是它的底面，故可以從兩個角度來表示出三棱錐B1-A1BC1的體積，設(shè)B1點到面A1BC1的距離為h，三角形A1BC1的邊長為，三角形B1BC1的直角邊長為a，面B1BC1上的高為a，代入體積關(guān)系式：

則，解得

用體積相等法來解題，其實與平面幾何中的面積相等法有著異曲同工之妙。

點到直線（或平面）距離問題是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，雖然題型多變，但萬變不離其宗。以上是我對這類知識點的一些理解和感悟，希望同學們在今后這類問題學習中多思考、多歸納、多總結(jié)，從而帶來事半功倍的效果。

參考文獻

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[2]侯慶盛.談?wù)匋c面距離的求解策略[J].數(shù)學教學研究.2002，（4）