用非線性規劃方法證明均值不等式

王偉業 路宇 李曉寒

[摘 ?要：關于均值不等式的證明方法有很多，數學歸納法（第一數學歸納法或反向歸納法）、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以證明均值不等式。現在來考慮用非線性規劃的方法來證明[An≤Qn]，其中，[An=i=1nxin=x1+x2+…+xnn，Qn=i=1nx2in=x21+x22+…+x2nn]。非線性規劃研究的對象是非線性函數的數值最優化問題，它的理論和方法滲透到許多方面，特別是在軍事、經濟、管理、生產過程自動化、工程設計和產品優化設計等方面都有著重要的應用。

關鍵詞：非線性規劃;均值不等式;K-T條件]

一、非線性規劃概述

非線性規劃（nonlinear programming）是具有非線性約束條件或目標函數的數學規劃，是運籌學的一個重要分支。非線性規劃研究一個n元實函數在一組等式或不等式的約束條件下的極值問題，且目標函數和約束條件至少有一個是未知量的非線性函數。目標函數和約束條件都是線性函數的情形則屬于線性規劃。非線性規劃是20世紀50年代才開始形成的一門新興學科。1951年H.W.庫恩和A.W.塔克發表的關于最優性條件（后來稱為庫恩-塔克條件）的論文是非線性規劃正式誕生的一個重要標志。在50年代還得出了可分離規劃和二次規劃的n種解法，它們大都是以G.B.丹齊克提出的解線性規劃的單純形法為基礎的。50年代末到60年代末出現了許多解非線性規劃問題的有效的算法。20世紀80年代以來，隨著計算機技術的快速發展，非線性規劃方法取得了長足進步，在信賴域法、稀疏擬牛頓法、并行計算、內點法和有限存儲法等領域取得了豐碩的成果。處理非線性的優化問題并非易事，它沒有一個像線性規劃中單純形法那樣的通用算法，而是根據問題的不同特點給出不同的解法，因而這些解法均有各自的適用范圍。

二、用非線性規劃方法證明均值不等式

下文所提到的x均表示n維向量。我們只考慮帶約束的非線性規劃問題[minf（x）s.t.gix≤0hjx=0]，求解這類問題的方法也稱約束最優化方法。引進它的Lagrange函數如下：L（x，[α]，[β]）=f（x）+[i=1pαigi]（x）+[j=1qβjhj（x）]，其中系數[αi]、[βj]叫做Lagrange乘子。利用它的Lagrange函數，K-T條件可寫為[?xLx，α，β=0αigi（x）βjhj（x），]，[?xLx，α，β]表示Lagrange函數對變量x的梯度向量。在一般情況下，K-T條件的解稱為K-T點，作為K-T點，除了滿足上述條件之外，當然還應該滿足可行性的條件，求一個約束非線性化問題的K-T點時，我們往往需要結合K-T條件與可行性條件。一個解是約束非線性規劃問題的最優解的必要條件是這個點是K-T點，在一定的凸性條件下，可以證明上述K-T條件亦是約束非線性規劃問題最優解的充分條件。

定理1：對于約束非線性規劃問題，若f，[gi]，[hj]在點x處連續可微，若約束非線性規劃問題的可行點x滿足它的K-T條件，且f，[gi]是凸函數，[hj]是線性函數，則x是約束非線性規劃問題的最優解。定理的證明從略。

K-T條件是由Kuhn和Tucker在1951年提出的關于約束非線性規劃問題最優解的著名必要條件。而且對于一些具有凸性要求的凸規劃問題，Kuhn和Tucker的條件也是它的最優解的充分條件。后來求解約束非線性規劃的著名方法簡約梯度法就是基于K-T條件設計的。而Kuhn和Tucker提出條件時也運用了數學中求極值時常用的一種方法——拉格朗日乘子法。

下面就利用約束非線性規劃問題的K-T條件來證明所說的均值不等式。考慮如下凸規劃：[minfx=i=1nx2is.t.i=1nxi=c]，它的拉格朗日函數為L（x，[α]，[β]）=[i=1nx2i]+[β（i=1nxi-c）]，所以可以寫出它的K-T條件為[2xi+β=0i=1nxi-c=0]，解它的K-T條件可以得到這個約束非線性規劃問題的K-T點為[xi]=[cn]，i=1，2，……，n。又因為此約束非線性規劃問題是凸規劃，所以此解即為原問題的最優解。把最優解帶入原問題可得最優值為f（x）=[i=1nx2i]=[c2n]=[An]，其中A=[（i=1nxi）2]，所以有n[i=1nx2i≥（i=1nxi）2]，整理即為[An≤Qn]。

可以看到，用非線性規劃的方法，準確地說是約束最優化方法來證明均值不等式另辟蹊徑、方法新穎、更加簡潔明了，而且它的意義是不言而喻的：這種證明方法不同于以往那些純代數的證明方法，它將更偏向于幾何的約束最優化法同代數聯系了起來。