一道幾何題引發的思考

龔蘭

摘要：在一次作業中，有一道挺普通的幾何題擋住了我班不少同學的去路，通過查閱學生答卷上的“蛛絲馬跡”，詢問學生答題時的“心路歷程”，想一探究竟，以便更好改進自己的教學。

關鍵詞：幾何題;教學反思;教學啟示

原題再現：如圖，△ABC中，4AB = 5AC，AD為△ABC的角平分線，點E在BC的延長線上，EF⊥AD于點F，點G在AF上，FG = FD，聯結EG交AC于點H，若點H是AC的中點，求AG：FD。

反思一：為什么很多同學加了平行線？

其實這道題想到添加平行線還是很正常的，重新審視這個問題，由于GF=FD，所以要求AG：FD即求AG：GD。而AG、GD恰是同一直線AD上的兩條線段，一般求同一直線上兩條線段加平行線的可能性不小，再進一步看點H是線段AC上的中點，于是添加以下兩條平行線的輔助線也就不足為奇了，如圖2、圖3。

加之考前有一道練習，就是添加平行線做的，使得很多學生更加篤定地走上了添加“平行線”這條道路。進一步剖析，從梅涅勞斯定理角度考慮，直線GE截△ADC，有三個分點G、H、E，現在已知AH=HC，求的是AG：GD，缺的就是DE：CE，這也是許多同學添了平行線但還是卡在這個環節。那平行線的解法到底可行嗎？我的結論是可行但復雜。

延長EG交AB于點J，由于∠AHG=∠B，所以△AHJ∽△ABC，于是AJ=（8/5）k，AJ：JB=8：17。

根據角平分線的性質BD：DC=5：4，設BD=5k，DC=4k，不難得到CE=AP=8k，結果自然就出來了。

所以不是平行線不能添，而是在添平行線的過程中如果能有新發現，那就太棒了，可以走更便捷的路，你在發現∠AHG=∠B得到△AHJ∽△ABC時，能不能去發現∠AHG=∠B后，再加上AD平分∠BAC，從而直接得到△AHG∽△ABD，這樣就簡單了。

反思二：不會分析，套題不成只能束手無策

教相似時肯定要教基本圖形，而且要讓學生掌握好。

首先，大多數試題中的圖都是由這些基本圖形為主干的，對于這些基本圖形的邊、角關系的熟悉有利于提高思維效率，何況從復雜的圖形中發現特殊圖形也是學生學習幾何需具備的能力。

其次，研究基本圖形的過程也是示范研究其他相似圖形的過程，這個探索的過程本身也是有價值的。

本題中的這組相似三角形就是學生所不熟悉的，當然這與同學初學相似，火候不夠有關，但其中蘊含的原因依然值得深思，這說明很多學生的思維依舊停留在“套”的層面，沒有學會分析問題的一般方法。套策略，嘗試添平行線而不成;套圖形，沒有發現基本圖形而卡住。

反思三：做題不能只局限于題目本身

對于上述題目，如果只追求做出結果，那么添平行線的方法也是完全可以做出來的，但是顯然不是最便捷的方法，所以我們還要繼續去分析直接利用相似的方法去做，要去比較、體會兩種方法的優劣，并去思考自己為什么沒有想到第二種方法，甚至為什么想到添平行線但是沒能做出來，這都是從這樣一道題的解答所延伸下去的，這比這道題本身更具價值，我想這也是提高數學幾何題分析能力的必經之路，師生要一起要努力的。

反思后的啟示：

啟示一：思維能力的提升不是靠刷題

數學思維能力的提升不是一朝一夕，在于平時的日積月累，在于師生的共同努力，數學老師要講解怎么做，更要講解為什么這么做，學生要知道怎么做，還要知道還能不能別的方法做，更要知道為什么選擇的方法做不出，作為我們老師要讓學生明白比刷題更重要的是動腦和反思，將教師對于問題的理解與自己的感悟融會貫通，最終形成屬于自己解決問題的分析策略，在實戰中提升邏輯思維能力，這是學習數學的初心，也是提升數學的途徑。

啟示二：注重培養學生“反思”的意識與能力

經常惆悵 “我講過的題為什么你們還不會？”，感覺學生有負于我。其實讓學生聽懂只是初級階段，讓學生換位來講，讓其他學生聽懂才是更高的階段。

通過數學學習，學生到底能收獲什么？我想應該是數學技能和數學思維。而數學技能的提升和數學思維的形成，是不可能硬塞進人腦的，只有靠學生親歷才能獲得的。

培養學生數學思維的教學不在于形式，而在于這種教學行為是否能真正觸發每一位學生的思考，領悟思考一般方法，進一步培養學生思考的習慣，引導學生，而不是牽著學生走;鼓勵學生，而不強迫學生走;啟發學生，而不代替學生走。

在培養學生數學思維過程中尤要重視培養學生“反思”的意識與能力，如果說一題多解是發散，那么多解歸一就是聚合，就是促進學生回溯思維的路徑。這樣處理數學問題的立意也許就不僅在于這道題怎么做，而是遇到這類數學問題應該怎么思考了，也就是著眼于數學思維的培養。

啟示三：教學設計要注重整體把握和一般方法的研究

由此我也聯想到了，現在大力提倡的單元教學設計，著眼于整體把握和研究一般方法，從而培養數學思維。

數學教學設計要體現整體把握。數學的整體性既體現在代數、幾何、三角、概率等各分支之間的相互聯系上，也體現在同一分支知識的前后邏輯連貫性上。數學教學設計要基于整體，新課教學要有相應的整體觀念貫穿始終;章節教學結束需有知識的整理與概括;教學過程中需強調相關知識的聯系性，幫助學生逐步形成數學知識結構。為了更好地實現數學教學的整體性，則需站在中觀視角，先進行單元教學設計，再將其落實于每節課的教學。

結論：

數學思維能力不是一朝一夕就能提升一樣，數學教學的任務也是任重而道遠的，在路上的我們只有不斷摸索，并在摸索中不斷反思，在反思中繼續前行，我想這樣堅持下去總能收獲到一些我們所想要的東西。

參考文獻：

[1]李國平.運用向量法多角度思考一道立幾題[J].高中數學教與學，2018（19）：48.

[2]鄭良.細研教材 整體架構 領悟本質 提升素養——由兩道立體幾何題測試結果引發的思考[J].中學教研（數學），2018（07）：37-40.